Изменение энтропии при смешивании воды разной температуры

Суть в том, что горячая вода теряет тепло при высокой температуре, что приводит к небольшому отрицательному изменению энтропии, в то время как холодная вода нагревается при низкой температуре, что приводит к высокому изменению энтропии. Чистое изменение энтропии положительно. Мы можем явно видеть это:

В любой момент бесконечно малое изменение энтропии системы равно

$$dS=\frac{dQ_H}{T_H}+\frac{dQ_C}{T_C},$$ где $dQ_H<0$и $dQ_C>0$теплообмен между горячей и холодной водой соответственно. Соответствующие температуры $T_H$и $T_C$. С $$|dQ_H|=|dQ_C|\equiv dQ>0,$$ мы можем написать $$dS=dQ\left(\frac{1}{T_C}-\frac{1}{T_H}\right)=dQ\left(\frac{T_H-T_C}{T_HT_C}\right)>0.$$ В любой момент температура горячей воды больше температуры холодной воды. Итак $dS$выше всегда положительна, и процесс необратим в любом промежуточном состоянии.

Чтобы получить изменение энтропии для системы, находящейся в необратимом процессе, первый шаг — полностью забыть о фактическом необратимом процессе и вместо этого разработать обратимый процесс, который переводит систему между одними и теми же начальным и конечным состояниями равновесия. Вот что имеется в виду под$dq_{rev}/T$. Обратимый процесс, который вы изобретаете, не должен иметь никакого сходства с настоящим необратимым процессом. В случае горячей и холодной масс воды m начальным состоянием является Th и Tc, а конечным состоянием является (Th+Tc)/2. Обратимый процесс, который я бы разработал, состоял бы в том, чтобы разделить две исходные массы, а затем подвергнуть каждую из них отдельно непрерывной последовательности резервуаров с постоянной температурой, работающих от начальной температуры до (Th+Tc)/2, позволяя теплопередаче с резервуары возникают очень постепенно для каждого. Изменение энтропии для горячей массы будет

$$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)/2}{T_h}\right]}$$ где С – теплоемкость воды. Аналогично, для холодной массы $$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)/2}{T_c}\right]}$$ Так, для комбинированной системы $$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)^2}{4T_hT_c}\right]}$$ Это изменение энтропии всегда больше нуля.

Строго по формуле, изменение энтропии равно теплопередаче, деленной на температуру, при которой происходит теплопередача. Теплопередача явно одинакова для обоих объемов, но положительна для холодного объема и отрицательна для горячего объема (тепло перетекает из горячего объема в холодный объем), но средняя температура, при которой он происходит, ниже для холодного объема. (он перешел от холодного к равновесному), чем для горячего объема (который перешел от горячего к равновесному), поэтому положительная теплопередача делится на меньшее число, чем отрицательная теплопередача, поэтому полное изменение энтропии положительно.

С точки зрения статистической механики конфигураций молекул воды, напоминающих конечное состояние, явно больше, чем конфигураций для начального состояния. В начальном состоянии молекулы с разной средней энергией связаны в отдельных объемах, а в конечном состоянии все молекулы имеют одинаковую среднюю энергию и могут свободно перемещаться в любом месте общего объема.

Интуитивно примите во внимание, что крайне маловероятно, чтобы конечное состояние спонтанно эволюционировало в начальное состояние.

И в самом общем смысле энтропия — это мера того, насколько система близка к равновесию. Начальное состояние не находится в равновесии, а конечное состояние находится в равновесии.

Смешивание воды разной температуры — это необратимый процесс, в том смысле, что, смешав их, вы получите среднюю температуру для системы, и вы не сможете отменить этот процесс, не совершив работы над системой.

Постулат энтропии: если в замкнутой системе происходит необратимый процесс, энтропия S системы всегда возрастает.

Это потому, что до того, как вы смешали воду, вы могли бы выполнить работу с водой высокой температуры, после смешивания вы можете сделать меньше работы, потому что у вас меньше энергии для использования.

Поначалу энтропия — сложная концепция, но после тщательного размышления она становится все более и более интуитивной.

Когда вы смешиваете горячую и холодную воду, они становятся неразделимыми в замкнутой системе (закрытой для энергии... мы все еще можем изменить объем). Представьте, что вы наклеиваете этикетку на каждую молекулу холодной воды, а затем отбираете их все после того, как смешиваете их с горячей водой. Вам пришлось бы приложить немало энергии, чтобы просеять все молекулы и разделить их. (Второй закон применим к «закрытым» системам — это означает, что при правильном применении мы не можем добавлять энергию в систему, и, таким образом, просеивание и разделение молекул нарушает второй закон, поскольку подразумевает открытие системы.)

Есть несколько способов увидеть, что энтропия всей системы увеличивается.

Первый прост: каждый объем изначально отделенной воды имеет больший объем для исследования после смешивания. Следовательно, энтропия возрастает. Этот аргумент лучше всего применим к 2 системам воды с одинаковой температурой.

Вторая реализация состоит в том, что распределение скоростей молекул Максвелла-Больцмана (МБ) асимметрично. Когда вы смешиваете два распределения MB с разными средними скоростями, средняя скорость полученной смеси ограничивается средними скоростями двух исходных смесей.

Однако число более медленных и более быстрых молекул в смеси не будет складываться геометрически. Асимметричное распределение будет иметь другую «форму», чем два исходных распределения. Поэтому энтропия увеличивается после смешивания двух температур

Я не совсем уверен, но я думаю, что вы думаете об энтропии как о векторном добавлении или сохранении.

Т.е. энтропия горячего + энтропия холодного = энтропия (горячего + холодного)..... в общем случае это неверно