Доказательство нормализации волновой функции

Стандартные подходы к квантовой механике начинаются с предположения об уравнении Шрёдингера, но лучше сделать наоборот. Существуют гораздо более глубокие математические рассуждения, начиная с вероятностной интерпретации, которые, к сожалению, обычно опускаются в учебниках. Начиная с вероятностной интерпретации, мы естественным образом нормализуем волновую функцию. Затем мы показываем, что сохранение вероятностной интерпретации требует унитарности. Затем с помощью теоремы Стоуна мы можем доказать уравнение Шредингера, показав, что на самом деле это теорема, а не постулат. Я дал следующий вывод в своей книге « Математика гравитации и квантов» . Это относится к фундаментальным поведениям в релятивистской квантовой механике, а не к конкретным системам.

Если во время$t_0$кет$|f(t_0) \rangle$, то кет во время$t$задается оператором эволюции,$U(t,t_0):\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$(это не относится к гильбертовому пространству с одной частицей), так что

$$|f(t) \rangle = U(t,t_0)|f(t_0) \rangle.$$ Ожидается, что эволюция кетов будет непрерывной, потому что кеты — это не физические состояния материи, а вероятностные утверждения о том, что может произойти при измерении с учетом текущей информации. Вероятности применимы к нашим представлениям о правдоподобии событий (это фундаментальный принцип современной байесовской интерпретации теории вероятностей). Независимо от того, дискретна реальность или нет, вероятность правильно описывается математическим континуумом (в том смысле, что континуум означает, что измерения положения достаточно точны, так что дискретность не оказывает практического влияния на предсказания). Дискретное взаимодействие не приведет к дискретному изменению вероятности, потому что у нас нет точной информации о том, когда происходит взаимодействие. Раз так,$U$предполагается, что это непрерывная функция времени.

Если кет вовремя$t_0$был либо$|f(t_0) \rangle$или$|g(t_0) \rangle$, то он эволюционирует либо в$|f(t) \rangle$или$|g(t) \rangle$вовремя$t$. В отсутствие дополнительной информации любой вес в ИЛИ будет сохранен (суперпозиция правильно интерпретируется как ИЛИ в многозначной логике). Так,$U$линейный,

$$U(t,t_0)[a|f(t_0)\rangle + b|f(t_0)\rangle]= aU(t,t_0)|f(t_0)\rangle + bU(t,t_0)|f(t_0)\rangle .$$ Поскольку местные законы физики всегда одинаковы, и$U$не зависит от кета, на котором он действует, вид оператора эволюции для промежутка времени$t$, $$U(t) = U(t+t_0,t_0)$$ не зависит от$t_0$. Потребуем, чтобы эволюция в промежутке$t_1 + t_2$то же самое, что эволюция в$t_1$с последующей эволюцией в$t_2$, а также равна эволюции в$t_2$с последующей эволюцией в$t_1$, $$U(t_2)U(t_1) = U(t_2 + t_1) = U(t_1)U(t_2) .$$ Использование отрицательных$t$обращает эволюцию времени вспять (положим$t=t_1=-t_2$) $$U(-t) = U(t)^{-1} .$$ В нулевом промежутке времени эволюции нет, $$U(0)=1 .$$

Результат расчета вероятности результата измерения$g$вовремя$t_2$задано начальное условие$f$вовремя$t_1$не зависит от времени, в которое он вычисляется (параметр времени для гильбертова пространства). Поскольку кеты могут быть выбраны для нормализации, мы можем потребовать, чтобы$U$сохраняет норму, т. е. для всех$|g\rangle$,

$$\langle g |U^\dagger U |g\rangle = \langle g|g \rangle .$$ Применив это к$|g\rangle + |f\rangle$, $$( \langle g| + \langle f | )U^\dagger U (|g\rangle + |f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle)$$

По линейности$U$,

$$( \langle g|U^\dagger + \langle f |U^\dagger ) (U|g\rangle + U|f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle) .$$ По линейности скалярного произведения мы можем умножить скобки. После отмены равных условий $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle + \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle + \langle f| g \rangle .$$ Точно так же, применяя аргумент к$|g\rangle + i|f\rangle>$ $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle - \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle - \langle f| g \rangle .$$

Добавление показывает, что для всех$|g\rangle, |f\rangle$

$$\langle g| U^\dagger U |f\rangle = \langle g| f \rangle .$$ то есть$U$является унитарным.

Это устанавливает условия для теоремы Стоуна. В книге я привожу доказательство теоремы Стоуна и нахожу уравнение Шрёдингера как простое следствие.