Измерение импульса и энергии свободной частицы

Таким образом, мы измеряем некоторое определенное значение импульса или энергии, которое является собственным значением импульса или гамильтониана (поскольку операторы коммутируют для свободной частицы).

Результатом единичного измерения может быть единичное значение, но в случае величин, имеющих непрерывную область определения, мы не можем с уверенностью сказать, что это действительное значение величины. При любом таком измерении неопределенность результата всегда больше нуля. Это неизбежно на практике, у нас нет средств для измерения непрерывных переменных с бесконечной точностью.

Тогда мы бы, в принципе, коллапсировали волновую функцию в некоторое стационарное состояние.$\Psi_k$но в данном случае мы знаем, что это невозможно (физически реализуемо).

При этом не важно, реализуем ли такой процесс физически; это зависит от интерпретации теории. Существуют интерпретации, которые вообще не считают коллапс в результате измерения физическим процессом, независимо от того, является ли результат нормируемым.

Здесь важно то, что не существует нормируемой функции, которая была бы собственной функцией оператора положения (и нет такой, которая была бы собственной функцией оператора импульса). Поэтому мы не можем основывать наше понимание теории на таких фиктивных функциях. Частица с определенным положением или импульсом с нулевой неопределенностью не может быть представлена ​​нормированными$\psi$функция.

Итак, измеряем ли мы конкретное значение импульса с некоторой неопределенностью измерения, при этом неопределенность дает нам разброс значений наблюдаемого

Да, все измерения положения или импульса частиц имеют конечную неопределенность, поэтому вероятность того, что измеренное значение равно искомому фактическому значению, равна 0. Когда мы смотрим на следы частиц из пузырьковой камеры, следы тонкие, но имеют конечную ширину, что ограничивает неопределенность координаты частицы на малое, но конечное расстояние. На практике я думаю микроны в лучшем случае.

Или мы никогда не измеряем конкретное значение, а скорее диапазон значений для данного измерения?

При измерении одной частицы обычно записывают одно значение плюс неопределенность. Если измеряется много частиц, то регистрируется много значений и неопределенностей. В любом случае ни один результат не может быть абсолютно точным, всегда есть некоторая неопределенность.

$\hat{\cal{P}}(x)=|x\rangle\langle x|$определяет не проекционный оператор, а так называемую проекционнозначную меру, т. е. дает проекционные операторы для некоторой области$a<x<b$:

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}=\int\limits_a^b dx \hat{\cal{P}}(x)=\int\limits_a^b dx |x\rangle\langle x|$$ Действующий на $|\psi\rangle$это дает нормализуемое состояние.

Это отражает то, что мы не можем говорить о вероятности измерения значения$x$а только плотность вероятности$p(x)$и вероятность$x$находясь в регионе$a<x<b$:

$$P(a<x<b)=\int\limits_a^b dx\,p(x)$$ те даны, $$p(x)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}(x)|\psi\rangle=\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=|\psi(x)|^2$$ $$P(a,b)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx|\psi(x)|^2$$

После измерения, которое дает$a<x<b$состояние становится нормализуемым$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle$или на языке волновых функций,

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}\psi(x)=\cases{0,&x<a\\\psi(x),&a<x<b\\0,&x>b}$$

---

ОБНОВЛЕНИЕ: я думаю, будет полезно немного поговорить о природе коллапса. Если вы хотите относиться к «коллапсу» как к некоему объективному изменению состояния, вы столкнетесь со всевозможными неприятными проблемами. «Коллапс» волновой функции появляется, когда мы рассматриваем условную вероятность некоторого измерения начального состояния при наличии некоторого предшествующего измерения. Бывает (для идеальных проективных измерений), что мы можем получить эту вероятность как вероятность единичного измерения коллапсированного состояния,

$$P_\psi\Big(B(t_2)=\beta|A(t_1)=\alpha\Big)=\frac{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha,B(t_2)=\beta\Big)}{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha\Big)}=P_\chi\Big(B(t_2)=\beta\Big)$$ $$|\chi\rangle=\frac{\hat{\cal{P}}_{A(t_2)=\alpha}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{A(t_1)=\alpha}|\psi\rangle}}$$ Для проективного измерения непрерывных переменных вы все еще можете найти условные плотности вероятности, но эта идея «коллапса» не очень полезна. Есть три способа его применения, каждый из которых требует от вас говорить о некоторой допустимой погрешности,

1. Оставайтесь в сфере идеализированного измерения и ограничивайтесь только обсуждением условий$a<x<b$(см. выше)

2. Дискретизируйте переменную, которая может быть хороша математически, но не очень близка к фактическим измерениям.

3. На самом деле ваши измерения не идеальны и имеют некоторую фундаментальную неточность. Однако это означает, что разные результаты для значений$x$не являются взаимоисключающими. Это означает, что вы больше не описываете свои измерения идеализированными$x$с его ортогональными проекторами, но вместо этого используйте некоторые POVM, которые зависят от используемого вами измерительного устройства. Затем вы можете применить идею коллапса к единственному значению$x$но это уже не$\hat{x}$в смысле учебника.

Как я уже сказал, вы можете прекрасно жить, не вникая во все это, если будете задавать только правильные вопросы. Меньше думайте о «крахе» и больше о том, что вы измеряете в эксперименте.