Имеет ли вообще какое-либо значение |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2?

Раньше я думал$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$имело смысл некоторой вероятности того, что импульс частицы$p$(в пределах некоторого интервала допуска$\Delta p$). Теперь я просто в замешательстве.

$\rho(p)=\lvert\langle p|\psi\rangle\rvert^2$просто другое обозначение для$\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2$где

$$\tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \psi(q)e^{-i\frac{pq}{\hbar}}dq.$$

Предполагается (и математически это работает хорошо), что так же, как$\int_{q_1}^{q_2}|\psi(q)|^2dq$дает вероятность того, что$q\in(q_1,q_2)$,

$$\int_{p_1}^{p_2}\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2dp$$

дает вероятность того, что$p\in(p_1,p_2)$-

Однако мне трудно поверить, что распределение скоростей в этих двух случаях точно равно.

Возьмем, к примеру, предписание рассчитать распределение скоростей как можно лучше. Это не обязательно отражает фактические скорости.

В классическом пределе (большое количество узлов в некотором пространстве$DX$), следует иметь возможность говорить о распределении скоростей вблизи положения$x$. Это должно быть что-то вроде$0.5\delta(v-v_c)+0.5\delta(v+v_c)$где$v_c=\sqrt{2T/m}$. Как это распределение соотносится с любым значением, которое мы можем извлечь из распределения без позиционирования?$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$?

Если у вас есть$q$-зависимое распределение вероятностей для$p$, вы всегда можете рассчитать предельное распределение вероятностей для$p$(без учета стоимости$q$) как

$$\mu(p) = \int_{-\infty}^{\infty} \rho_q(p) dq$$ и сравните его с $\rho(p)$. Если $\mu(p)$и $\rho(p)$не согласен, тогда вы можете подумать, почему это так и какой из них вы предпочитаете в качестве лучшего описания.

Что мешает нам говорить о вероятности найти частицу с импульсом$\mathbf p$на позиции$\mathbf x$в квантовой механике? Это, конечно, некоммутативность$\hat x$и$\hat p$, или, в более физических терминах, принцип неопределенности Гейзенберга

$$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.$$ Вот почему функция Вигнера, упомянутая Войдом, не является правильным неотрицательным распределением вероятностей.

Но попробуем минимизировать действие принципа Гейзенберга. Напомним, что

$$I = \int \phi(x)^*\psi(x) \, dx$$ является мерой перекрытия состояний $\phi$и $\psi$. В частности, вероятность найти состояние $\phi$является $P = |I|^2$. Теперь рассмотрим следующее состояние $$\phi(x; p,x') = C_1\exp\big[ -C_2(x-x')^2 + ipx]$$ где $C_1$и $C_2$некоторые несущественные константы нормализации. Нетрудно показать, что математические ожидания $\hat x$и $\hat p$в этом состоянии $x'$и $p$. Кроме того, для этого состояния $\Delta x \Delta p = \hbar/2$, что означает, что неопределенность минимальна . Таким образом, определим функцию Хусими $$Q(x',p) = \left | \int \phi(x; x', p)^* \psi(x) \, dx\right|^2$$ что затем дает вероятность найти минимальное состояние неопределенности с импульсом $p$в $x$.

Функция Хусими может быть связана с функцией Вигнера и наоборот, и может использоваться для вычисления всего, для чего может использоваться функция Вигнера.

Интерпретация тока вероятности$\vec{j}$поскольку реальное течение, определяющее своеобразную бомовскую скорость потока жидкости (статистический ансамбль), нельзя смешивать с обычной интерпретацией квантовой механики, а главное, нельзя смешивать с принципом суперпозиции.

Рассмотрим следующий пример: мы берем волновую функцию$\sim e^{-ikx}$, эта волновая функция будет представлять потоковый ансамбль скоростей$k$на картине Бома ($\hbar=m=1$). Наложим теперь на него ансамбль скоростей$-k$, т.е.$\sim e^{ikx}$, так что мы получаем встречные частицы. Это означает, что с точки зрения Бома мы получим два ансамбля встречных потоков, которые дают нулевую скорость и плоское пространственное распределение вероятностей, верно? Не совсем. Наша результирующая волновая функция

$$\psi_{\pm k} \sim \cos(kx)$$ с распределением вероятностей $\sim 1+cos(2kx)$. Бомовские траектории внезапно не текут мирно, а застывают между узлами $\cos(kx)$. Это картина, сильно отличающаяся от той, которую могла бы дать наивная бомовская интерпретация! Частицы никак не могут течь через узлы с нулевой вероятностью частиц, поэтому мы можем только сказать, что частицы каким-то образом колеблются между узлами $\cos(kx)$.

В любом случае, вы можете видеть, что объединение концепции$e^{-ikx}$потоковый ансамбль с суперпозицией не дает ничего удовлетворительного. Суперпозиция и «библейская» интерпретация волновой функции просто не работают вместе. "Beables" нелинейны, и на каждый "линейно" заданный вопрос не будет хорошего ответа.

Принимая$\langle p|\psi \rangle$с бомовским мышлением все равно, что спрашивать: «Насколько униформа$p$-транслировать ($\sim e^{-ipx}$) линейно присутствует в этом ансамбле$\psi$?», и вы получаете математический ответ, который не имеет никакого смысла в смысле нелинейной физики, которую вы считаете истинной. Вы получаете только полезное преобразование Фурье этой своеобразной функции$\psi$вашей теории.

---

В фазовом пространстве есть одна «квазивероятностная» функция, которую я нахожу довольно удобной, — квазивероятностное распределение Вигнера. $P(p,x)$. Он обладает всеми хорошими свойствами, которые можно ожидать от такого дистрибутива, как$\int P(p,x) dp = \rho(p), \int P(p,x) dx = \rho(x)$. Это действительно здорово, но... это не является положительно определенным. Тем не менее иногда его используют в классическом пределе.

---

Правда в том, что квантовое состояние нельзя интерпретировать с точки зрения классических объектов, но его следует понимать в своих собственных терминах.

Истинная классическая копия квантового состояния — это точное положение и импульс частицы, потому что квантовое состояние — это основной строительный блок вашей теории, самое точное, что вы можете получить, полная характеристика системы и ее эволюции. А интерпретацию и сходимость к классическому пределу следует делать только проверкой соответствия между$x \to \langle \hat{X}\rangle, \langle (\hat{X})^2\rangle - (\langle \hat{X}\rangle)^2 \to 0$и т. д.

С другой стороны, квантовым аналогом классического распределения является оператор плотности . В классической механике у вас есть распределение по острым объектам вашей теории, положению и импульсу. В квантовой теории также, единственное отличие состоит в том, что у вас есть распределение по квантово-четким объектам, состояниям. Поскольку состояния сходятся к точным положениям и импульсам, ваш оператор плотности сходится к классической плотности вероятности.

---

Я проклят или мне нужно слишком много времени, чтобы закончить ответ, чтобы тем временем был принят другой? В любом случае, наслаждайтесь альтернативной точкой зрения.

Эволюцию времени можно анализировать, применяя оператор эволюции времени, т.е.

$$\hat U=e^{i\hat Ht}$$

С момента исхода$\hat H\left|\psi\right>$отличается в двух указанных вами случаях (гамильтониан, описывающий проблемы, различен), состояния развиваются по-разному. Ожидаемое значение импульса будет отражать эту ситуацию, т.е.

$$\left<\hat p(t)\right>=\left<\psi(t)\right|\hat p\left|\psi(t)\right>$$

будут иметь разные зависимости в двух случаях, и поэтому распределение импульсов будет меняться как математическое ожидание$\left<\hat p(t)\right>$изменения.