Как бозон Хиггса придает массу другим элементарным частицам, таким как электроны? [дубликат]

В теории поля динамика системы описывается лагранжианом. Например, для поля свободного скалярного поля (спин 0) лагранжиан равен

$${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 ~.$$ Тогда масса частицы, соответствующей этому полю, определяется следующим образом. Напомним, что в теории поля частица понимается как флуктуация поля. Итак, поле, подобное $\phi$может иметь базовое значение $h$а частица представлена ​​как флуктуация $f$сверх этого базового значения. Так пишу $\phi(x) = h + f(x)$и подставляя это в лагранжиан и расширяя до квадратичного порядка, мы находим $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} m^2 f^2 - m^2 f h - \frac{1}{2} m^2 h^2$$ Мы должны думать об этом лагранжиане как описывающем флуктуацию $f$. Затем масса считывается из квадратичного члена как $m$. Обратите внимание, что для этого простого случая предполагаемая «масса» $\phi$читать с первой формы ${\cal L}$такое же, как масса $f$. Это не всегда верно. Например, рассмотрим скалярное поле, самодействующее с членом взаимодействия $\phi^3$чтобы действие было $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 -g \phi^3 ~.$$ Потом пишешь как раньше $\phi(x) = h + f(x)$мы нашли $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} [ m^2 + 6 g h ] \,f^2 + \cdots$$ В этом случае находим, что масса частицы $f$изменен на $\sqrt{m^2 + 6 g h}$поэтому это зависит от «базового» значения поля $h$а также константа связи $g$. Теперь, может ли поле иметь базовое значение или нет, зависит от других факторов, которые я не буду здесь объяснять.

Таким образом, мы видим, что добавление взаимодействий изменяет массу частицы, если поле имеет какое-то базовое значение. Именно таким образом поле Хиггса сообщает массу электрону. Давайте посмотрим на это более подробно.

Мы работаем с упрощенной версией поля Хиггса, описываемого реальным скалярным полем$\phi$(в отличие от реального, который является основой SU (2)). Он взаимодействует сам с собой и электронным полем$\psi$согласно следующему лагранжиану

$${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{1}{4} \lambda \phi^4 - i {\bar \psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - g \phi {\bar \psi} \psi ~.$$ Последний член известен как член взаимодействия Юкавы. Сейчас, $\psi$является фермионным полем и не может иметь базового значения. Для поля Хиггса пишем $\phi(x) = h + f(x)$и мы находим $${\cal L} = - \frac{1}{2} ( \partial f)^2 - \frac{1}{2} [ 3 \lambda h^2 - m^2 ] f^2 - i {\bar \psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - g h {\bar \psi} \psi + \cdots ~.$$ Таким образом, мы находим, что если поле Хиггса имеет базовое значение $h$, то бозон Хиггса (описываемый $f$) имеет массу $m_{\text{Higgs}} = \sqrt{ 3 \lambda h^2 - m^2 }$и электрон (описываемый $\psi$) имеет массу $m_{el} = gh$. Этот процесс представляет собой механизм Хиггса. Если $h=0$, электрон безмассовый и так было давно. В какой-то момент поле Хиггса достигло vev (базового значения) и $h$стал ненулевым, и электрон стал массивным!

уравнения (5) и (6) здесь показывают, как лептоны связываются с полем Хиггса, давая прежнюю массу. Это члены лагранжиана, а именно.

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_{Y} = &-\lambda_u^{ij}\frac{\phi^0-i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline u_L^i u_R^j +\lambda_u^{ij}\frac{\phi^1-i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline d_L^i u_R^j\\ &-\lambda_d^{ij}\frac{\phi^0+i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline d_L^i d_R^j -\lambda_d^{ij}\frac{\phi^1+i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline u_L^i d_R^j\\ &-\lambda_e^{ij}\frac{\phi^0+i\phi^3}{\sqrt{2}}\overline e_L^i e_R^j -\lambda_e^{ij}\frac{\phi^1+i\phi^2}{\sqrt{2}}\overline \nu_L^i e_R^j + \textrm{h.c.} \end{aligned}\tag5$$

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_{m} = -m_u^i\overline u_L^i u_R^i -m_d^i\overline d_L^i d_R^i -m_e^i\overline e_L^i e_R^i+ \textrm{h.c.} \end{aligned}\tag6$$

Здесь каждый член с$_L$или$_R$индекс представляет собой фермион левой или правой киральности, а такие коэффициенты, как$m_u^i$эффективные массы, следующие из$\lambda$s, установив поле Хиггса в (5) на его среднее вакуумное значение, а именно.$\phi^0=\frac{v}{\sqrt{2}},\,\phi^1=\phi^2=\phi^3=0$.

Калибровочные бозоны требуют другого обращения, а именно. уравнения (1)-(4) в том же источнике. Теоретически фермионы могут быть массивными без нарушения калибровочной инвариантности даже без калибровочного бозона. Например, электромагнитный лагранжиан Дирака электрона$\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\left(\partial_\mu+qA_\mu\right)-m_e\right)\psi$позволяет это. (Сказав это, работает ли это, зависит от калибровочной группы.)

Напротив, фотон$A_\mu$не может просто получить такой массовый член, потому что добавление$m^2A_\mu A^\mu$срок до$\left(\partial_\mu-iqA_\mu\right)\phi^\ast\left(\partial^\mu+iqA^\mu\right)\phi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$нарушит калибровочную инвариантность. На самом деле фотон безмассовый. Проблема в том, что бозоны W и Z не таковы, и для придания им эффективной массы, сохраняющей калибровку, требуются члены вида$q^2|\phi|^2B_\mu B^\mu$. Как и у лептонов, масса пропорциональна амплитуде вакуума Хиггса.