Гармонический ряд простирается до бесконечности, поэтому нам нужно ограничить анализ первыми n гармониками. Таким образом, результаты будут зависеть от того, сколько гармоник вы анализируете и какое значение вы придаете каждой гармонике (возможно, взвешиваете каждую гармонику с ее амплитудой).

Я сделал небольшую программу, которая анализирует эту связь между гармониками и интервалами. Вы можете найти это здесь . Он имеет следующие характеристики:

• Программа вычисляет для каждой гармоники, к какому интервалу она ближе всего в центах.
• Этот анализ выполняется с использованием гармонического ряда, найденного в пилообразной волне.
• Взвешенная сумма использует взвешивание 1 / harmonic number, поэтому каждая гармоника получает значение в зависимости от ее амплитуды по отношению к основной частоте.
• Он использует как соотношение 2^(1/12)(12-тональная одинаковая темперация), так и Just Intonation (пифагорейская настройка) для расчета частоты интервалов.

Посмотрим результаты для первых 50 гармоник, проанализированных с помощью этой программы. Есть две таблицы: первая показывает частоту каждого найденного интервала, вторая показывает взвешенную сумму для каждого интервала.

Проанализированы первые 50 гармоник:

(Результаты были одинаковыми как в 12-TET, так и в Just Intonation)
Упорядочено по сумме:
пятый 7.0
корень 6.0
тритон 6.0
мажорная треть 5.0
большая секунда 4.0
минорная терция 4.0
минорная шестая 4.0
минорная септима 4.0
малая секунда 3.0
четвертый 3.0
мажорная седьмая 3.0
мажорная шестая 1.0

Упорядочено по взвешенному итогу:
корень 1.97
пятый 0,688
большая терция 0,399
малая септима 0,284
тритон 0,247
большая секунда 0,223
малая шестая 0,175
мажорная септима 0,132
второстепенная терция 0,132
малая секунда 0,119
четвертый 0,0947
мажорная шестая 0,037

Мы видим, что наиболее распространенными интервалами в гармоническом ряду являются унисон и чистая квинта. Менее распространенными интервалами в гармоническом ряду являются большая шестая, большая седьмая и чистая четвертая.

Взвешенные значения дают аналогичные результаты, разница в том, что идеальная четвертая оценка еще ниже. Интересно, есть ли лучшее значение взвешивания или динамическое? Возможно, я придаю слишком мало значения высшим гармоникам.

Различия между гармониками и ближайшим к ним интервалом.

Кто-то заметил, что было бы интересно узнать, в чем разница между гармониками и их ближайшим интервалом. После некоторых модификаций программы вот результаты:

Средняя разница для первых 50 гармоник, в центах:

Средняя разница:

Интервал 12-ТЭТ ДЖИ
корень 0,000 0,000
малая секунда 18,879 22,138
большая секунда 14,148 12,193
второстепенная терция 24.028 24.474
большая треть 16,762 21,454
четвертый 23.319 22.667
тритон 35,395 32,136
пятый 11.703 10.306
малая шестая 33,950 33,950
мажорная шестая 5,865 0,000
малая септима 30,775 28,820
большая септима 22.833 26.091

Полный список разностей для первых 50 гармоник в центах:

Отличия для 12-ТЕТ:
корень ['0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000']
малая секунда ['4,955', '46,727', '4,955']
большая секунда ['3,910', '3,910', '44,860', '3,910']
второстепенная терция ['2,487', '48,656', '2,487', '42,483']
большая терция ['13,686', '13,686', '13,686', '13,686', '29,062']
четвертый ['29.219', '29.219', '11.518']
тритон ['48,682', '48,682', '28,274', '48,682', '9,776', '28,274']
пятый ['1,955', '1,955', '1,955', '1,955', '34,493', '1,955', '37,652']
минорная шестая ['40,528', '27,373', '40,528', '27,373']
мажорная шестая ['5.865']
младшая седьмая ['31.174', '31.174', '31.174', '29.577']
мажорная седьмая ['11.731', '11.731', '45.036']

Различия для Just Intonation:
корень ['0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000']
малая секунда ['14,730', '36,952', '14,730']
большая секунда ['0,000', '0,000', '48,770', '0,000']
второстепенная терция ['3,378', '42,791', '3,378', '48,348']
большая терция ['21.506', '21.506', '21.506', '21.506', '21.242']
четвертый ['27.264', '27.264', '13.473']
тритон ['36,952', '36,952', '40,004', '36,952', '1,954', '40,004']
пятый ['0,000', '0,000', '0,000', '0,000', '36,448', '0,000', '35,697']
минорная шестая ['48.348', '19.553', '48.348', '19.553']
мажорная шестая ['0,000']
минорная седьмая ['27.264', '27.264', '27.264', '33.487']
мажорная седьмая ['21.506', '21.506', '35.261']

С технической точки зрения ответ — бесконечность для всех интервалов.

Это связано с тем, что для любой резонансной гармоники основной гармоники существует гармоника с удвоенной частотой.

Существует порядок, в котором появляются эти интервалы, и его легко найти, взглянув на гармонический ряд . Вам, конечно, нужно знать, что 12-тональная равномерная темперация, которую мы используем сегодня, получена из гармонического ряда путем регулировки всех высот так, чтобы они находились на одинаковом расстоянии друг от друга, а ноты в гармоническом ряду быстро уменьшались. в размере, пока они не будут меньше полутона друг от друга.

Редактировать:

Я действительно не удовлетворен идеей использования 12-TET/общепринятого определения «интервала» при обсуждении гармонического ряда. За исключением октавы, все интервалы, созданные гармоническим рядом, должны быть скорректированы, чтобы соответствовать имени интервала (например, «минорная септима»), которое обычно используется. Правильный способ обозначения акустических интервалов - это соотношение, связывающее гармонику с основной. Если думать об этом таким образом, гармонический ряд невероятно прост. Построим гармонический ряд на 100 Гц:

(P = частичное - harmonic frequencyвсегда fundamental frequencyx partial number)

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 2/1
3 | 300 | 3/1
4 | 400 | 4/1
5 | 500 | 5/1
6 | 600 | 6/1
7 | 700 | 7/1
8 | 800 | 8/1
9 | 900 | 9/1

Чтобы найти октавные эквиваленты, мы уменьшаем каждое соотношение интервалов вдвое (что приводит к уменьшению вдвое результирующей частоты), пока оно не станет меньше 2/1. (Математически это просто означает, что мы удваиваем «знаменатель» интервала.)

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 2/2
3 | 300 | 3/2
4 | 400 | 4/4
5 | 500 | 5/4
6 | 600 | 6/4
7 | 700 | 7/4
8 | 800 | 8/8
9 | 900 | 9/8

Тогда упростите:

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 1/1
3 | 300 | 3/2
4 | 400 | 1/1
5 | 500 | 5/4
6 | 600 | 3/2
7 | 700 | 7/4
8 | 800 | 1/1
9 | 900 | 9/8

Я включил средний шаг, чтобы было легче увидеть, что количество интервалов на октаву растет экспоненциально: 2 ^ n, где n — количество октав выше основного тона. Каждая следующая октава содержит все интервалы предыдущей октавы плюс 2^(n-1) новых интервалов.

Таким образом, в конечном диапазоне полных октав и после упрощения всех отношений интервалов любой интервал со знаменателем 2 ^ n будет иметь:

• ровно на одно вхождение больше, чем любые интервалы со знаменателем 2^(n+1)
• ровно на одно вхождение меньше, чем любые интервалы со знаменателем 2^(n-1)
• точно такое же количество вхождений, как и любые другие интервалы с тем же знаменателем

С этого момента должно быть довольно легко создать обобщенный случай для частоты появления с заданным интервалом и диапазоном, если вы хотите.

Итак, вот как гармонический ряд работает акустически и математически. Если вы знаете, как гармонический ряд выглядит тонально, вы должны быть в состоянии сопоставить отношения, перечисленные выше, с вашими любимыми тональными интервалами: 3/2 — это идеальная квинта, 5/4 — ваша большая терция, 7/4 — минорная септима. , а 9/8 - большая 2-я.

Лично я не считаю, что какие-либо интервалы, кроме этих, следует считать «эквивалентными», за исключением того, что может иметь место по совпадению. Конечно, вы можете получить «минорную терцию», стреляя до 19-й гармоники, но гораздо проще получить ее, используя вместо этого расстояние между 5-й и 6-й гармониками. Just Intonation использует именно это для минорной терции, 6/5. Чистая четвертая — 4/3, большая шестая — 5/3, малая шестая — 8/5. Небольшие целочисленные отношения воспринимаются как созвучие.

Некоторые ресурсы:

• Очень полезная таблица первых 32 гармоник
• Википедия: Harmonic (много классных диаграмм)
• Немного полезной информации о Just Intonation

Программа JC проходит и учитывается, что является одним из подходов к проблеме, который, безусловно, дает ответ. Но чего он не дает, так это понимания паттерна, который заставляет ноты повторяться в последовательности обертонов. Я собираюсь использовать противоположный подход, показывая закономерность, не обязательно давая ответ. :)

Ключ, конечно, в октавах, которые появляются всякий раз, когда частота удваивается. Если мы определим единицы так, что основная частота равна «1», то частоты гармоник будут просто целыми числами. Но любая степень числа 2 будет на некоторое количество октав выше основного тона:

унисон/октавы: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

По сути, любая гармоника с четным номером является повторением ранее услышанной ноты, поскольку ее можно разделить пополам, чтобы найти гармонику на октаву ниже. Таким образом, только нечетные числа дадут нам «новые» ноты, и каждая гармоника может быть записана как нечетное число, умноженное на степень двойки .

Следующее доступное число в последовательности - 3, что в гармоническом ряду соответствует чистой квинте:

квинты: 3, 6, 12, 24, ...

Далее идет 5-я гармоника, которая соответствует интервалу большой терции:

большие терции: 5, 10, 20, 40, ...

Затем 7-я гармоника, соответствующая фальшивой минорной 7-й:

малые септимы: 7, 14, 28, ...

И 9-я гармоника, соответствующая мажорной 9-й (или мажорной 2-й):

основные секунды: 9, 18, 36, ...

11-я гармоника — еще одна не в гармонии с 12ТЕТ, лежащая где-то между тритоном и идеальной квартой:

тритоны: 11, 22, ...

С этого момента гармоники все хуже коррелируют со шкалой 12TET и должны начать округляться в соответствии с программой JC. Но здесь вы можете увидеть закономерность. Если, например, мы ограничимся первыми 40 гармониками, то все нечетные гармоники между 11 и 19 будут встречаться дважды (19x2 = 38), а начиная с гармоники 21, они будут встречаться только один раз. Просто повторю мысль из предыдущего: каждая нечетная гармоника будет совершенно новой высотой звука в последовательности, а не октавой предыдущей высоты.

Гармоники можно рассматривать и в терминах разложения простых чисел (каждое составное число является произведением простых чисел). Например, рассмотрим 60-ю гармонику: 60 = 2^2 * 3 * 5.

Поскольку есть два множителя «2», это на две октавы выше гармоники 15 (= 3 * 5). Поскольку есть коэффициент «3», это идеальная квинта выше гармоники 5, которая является большой терцией. Таким образом, мы можем сделать вывод, что 60-я гармоника является мажорной терцией выше совершенной 5-й, то есть мажорной 7-й.