Как добавить две плоские волны, если они распространяются в разных направлениях?

В курсе бакалавриата о волне для двух гармонических волн, распространяющихся в противоположном направлении, результирующая волна будет стоячей волной. В математике это как

Y 1 = Грех ( k x + ω t ) , у 2 = Грех ( k x - ω t ) Y 1 знак равно грех ⁡ ( К Икс + ω T ) , Y 2 знак равно грех ⁡ ( К Икс - ω T )

так

Y = у 1 + у 2 = Грех ( k x + ω t ) + грех ( k x - ω t ) = 2 грех ( k x ) cos ( ω т ) Y знак равно Y 1 + Y 2 знак равно грех ⁡ ( К Икс + ω T ) + грех ⁡ ( К Икс - ω T ) знак равно 2 грех ⁡ ( К Икс ) соз ⁡ ( ω T )

Я думаю, что произойдет, если у нас есть две плоские волны, распространяющиеся вдоль двух разных направлений (говорит, что угол составляет 60 градусов, то есть две волны создают). Я знаю, что если это так, мы не можем написать к х К Икс но мы должны рассмотреть К К такой вектор, что

Y 1 = Грех ( к ⃗ ⋅ г ⃗ + ω т ) , у 2 = Грех ( к ⃗ ⋅ г ⃗ - ω т ) Y 1 знак равно грех ⁡ ( К → ⋅ р → + ω T ) , Y 2 знак равно грех ⁡ ( К → ⋅ р → - ω T )

Но если мы посмотрим на горизонтальное направление (то есть x) и вертикальное направление (то есть y), что мы можем сказать о результирующей волне вдоль x и вдоль y? Я думаю с физической точки зрения, если мы посмотрим на горизонтальное направление, если волны все еще складываются в стоячую волну, потому что компоненты x волн распространяются в противоположном направлении. Но вдоль вертикального направления компоненты y волн распространяются в одном и том же направлении, поэтому стоячей волны нет. Это верно? Если так, то как доказать это в математике? Срок К ⃗ ⋅ г ⃗ К → ⋅ р → очень сбивает с толку!

использование К ⃗ ⋅ г ⃗ = | к | | г | соз θ К → ⋅ р → знак равно | К | | р | соз ⁡ θ где θ θ это угол между волнами.
Я думаю, что 2 волны должны быть Y 1 = Грех ( к ⃗ ⋅ г ⃗ + ω т ) е ⃗ К ⃗ Y 1 знак равно грех ⁡ ( К → ⋅ р → + ω T ) е → К → и Y 2 = Грех ( д ⃗ ⋅ г ⃗ + ω t + ϕ ) e ⃗ Q ⃗ Y 2 знак равно грех ⁡ ( Q → ⋅ р → + ω T + φ ) е → Q →

Ответы (3)

Вопрос неясен, но я считаю, что его можно обобщить так: «Могут ли стоячие волны образовываться из плоских волн, которые распространяются под некоторым произвольным углом друг к другу?»

Стоячая волна легче всего понять в одном измерении и может быть описана уравнением.

u = A cos ( k x ) cos ( ω т ) U знак равно соз ⁡ ( К Икс ) соз ⁡ ( ω T )

Это простая идентификация триггера сумма-сумма, которую можно найти на этой странице, которая связывает стоячую волну с волнами, распространяющимися в противоположных направлениях.

2 A cos ( k x ) cos ( ωt ) = A [ cos ( k x - ω t ) + cos ( - k x - ω t ) ] 2 соз ⁡ ( К Икс ) соз ⁡ ( ω T ) знак равно [ соз ⁡ ( К Икс - ω T ) + соз ⁡ ( - К Икс - ω T ) ]

В скалярной формулировке удобно определять положительное и отрицательное направление распространения через отрицательное ω т ω T , Так как мы будем работать в векторной формулировке с К К направление проще обозначить через знак К К , Также может быть произвольный этап.

Теперь, чтобы показать, что нечто вроде стоячей волны может иметь место в двух измерениях (легко обобщенных до трех измерений), проще использовать сложные экспоненты для представления волн. Добавляем две волны (q - волновое число второй волны):

А е я ( k ⋅ r - ω t ) + А е я ( д ⋅ r - ω t ) = A e я к Y Y е я ( к Икс х - ω т ) + А е я д Y Y е я ( д Икс х - ω т ) е я ( К ⋅ р - ω T ) + е я ( Q ⋅ р - ω T ) знак равно е я К Y Y е я ( К Икс Икс - ω T ) + е я Q Y Y е я ( Q Икс Икс - ω T )
Если компонент y волнового числа идентичен для обеих волн, тогда компонент y можно объединить с амплитудой, чтобы сформировать комплексную амплитуду, общую для обеих волн, с фазой, которая зависит от y.
А е я к Y Y ( е я ( к Икс х - ω т ) + е я ( д Икс х - ω т ) ) е я К Y Y ( е я ( К Икс Икс - ω T ) + е я ( Q Икс Икс - ω T ) )
Возврат к представлению триггера и игнорирование фазы, зависящей от y:
A [ cos ( к Икс x - ω t ) + c o s ( q Икс х - ω т ) ] [ соз ⁡ ( К Икс Икс - ω T ) + с о s ( Q Икс Икс - ω T ) ]
Вы должны понимать, что это стоячая волна, если x-компоненты волнового числа равны по величине, но имеют противоположное направление. Это говорит о том, что две плоские волны с общей фазой, имеющие одинаковую амплитуду волнового числа, фактически будут создавать стоячую волну, если смотреть в конкретную плоскость.

Привет Дэвид, спасибо за подробное объяснение. Я знаю, что этот вопрос может быть расплывчатым, поскольку он вводит меня в заблуждение. В любом случае, ваша математика выглядит довольно просто, чтобы объединить компонент y с амплитудой. Поскольку вы используете комплексное число, я думаю, что в реальном физическом случае мы смотрим только на реальную часть, верно? Так что волна должна выглядеть A ∗ cos ( к Y Y ) [ cos ( к Икс x - ω t ) + cos ( к Икс х + ω т ) ] * соз ⁡ ( К Y Y ) [ соз ⁡ ( К Икс Икс - ω T ) + соз ⁡ ( К Икс Икс + ω T ) ] , так что это стоячая волна вдоль направления x, но амплитуда зависит от y, а не от постоянной. Я правильно понимаю?
Так что, если я две синусоидальные волны (с одинаковой величиной волнового вектора), распространяющиеся на плоскости ху и делающие 60 градусов друг с другом, т.е. К ⃗ К → делая 60 градусов с положительным х, другой К ⃗ К → делая 120 с положительным х, что я должен увидеть, если я это визуализирую? Должен ли я видеть стоячую волну на оси х с амплитудой А (поскольку на оси х у = 0, так соз ( к Y Y ) = 1 соз ⁡ ( К Y Y ) знак равно 1 , Так что это так, что соз ( к Y Y ) соз ⁡ ( К Y Y ) действительно влияет?
Вы должны быть осторожны, как и когда вы принимаете реальную порцию. Если вы используете сложную функцию для моделирования реальных явлений и имеете уравнение типа (сложная функция) x (другая сложная функция) = (сложный ответ), вы должны взять реальную часть окончательного ответа, а не какую-либо из промежуточные шаги. Когда вы умножаете сложные экспоненты, единственным эффектом является изменение фазы. Он не может создать изменение амплитуды, как вы описали.
Это довольно запутанно, когда объяснить вещи в комплексе. Поэтому я просто хочу знать, есть ли у меня две волны, подобные описанным выше, должна ли я видеть одну горизонтальную стоячую волну (вдоль x и y = 0)?
Извините, мой первоначальный вывод был неверным. Я исправил это. На самом деле вы увидите нечто вроде стоячей волны, если угол между двумя волнами не равен 0.

Другой ответ хорош, но это может помочь вам визуализировать результат. Легко создавать визуализации, если у вас есть доступ к пакету, подобному Mathematica (вы также можете сделать это с помощью python + matplotlib, gnuplot или Matlab или просто с чем угодно). Я создал графики двух волн в 2D, одна из которых идет в положительном направлении. Икс Икс направление, а другой идет под углом θ θ относительно Икс Икс ось. Амплитуды, длины волн и частоты одинаковы. Вот код: 

 wave1[x_, y_, t_] := Sin[x - t]; wave2[x_, y_, t_, \[Theta]_] := Sin[Cos[\[Theta]] x + Sin[\[Theta]] y - t]; frames[\[Theta]_] := frames[\[Theta]] = Table[Plot3D[wave1[x, y, t] + wave2[x, y, t, \[Theta]], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotLabel -> "\[Theta] = " <> ToString[\[Theta]]], {t, 0, 10}]; Table[Export["twowaves_\[Theta]_" <> ToString[\[Theta]] <> ".gif", frames[\[Theta]]], {\[Theta], 0, 2 \[Pi], 0.5}]

Выбранные участки показаны ниже. Обратите внимание, что сумма волн упрощается до

грех ( х - т ) + грех ( потому что ( θ ) х + грех ( θ ) у - t ) = 2 cos ( 1 2 х ( потому что θ - 1 ) + 1 2 Y грех θ ) грех ( 1 2 х ( потому что θ + 1 ) + 1 2 Y грех θ - т ) . грех ⁡ ( Икс - T ) + грех ⁡ ( соз ⁡ ( θ ) Икс + грех ⁡ ( θ ) Y - T ) знак равно 2 соз ⁡ ( 1 2 Икс ( соз ⁡ θ - 1 ) + 1 2 Y грех ⁡ θ ) грех ⁡ ( 1 2 Икс ( соз ⁡ θ + 1 ) + 1 2 Y грех ⁡ θ - T ) ,

Вы получаете только стоячую волну, если пространственно-временная зависимость разделяется. Так что вам нужно Икс Икс и Y Y условия в грех грех исчезать. Это требует соз θ = - 1 соз ⁡ θ знак равно - 1 и грех θ = 0 грех ⁡ θ знак равно 0 , который имеет уникальный (до 2 π 2 π ) решение θ = π θ знак равно π , Таким образом, вы получаете стоячие волны, только если две волны встречно распространяются. Любой другой случай дает вам бегущую волну ( грех грех термин) модулируется пространственно-зависимой амплитудой ( соз соз срок).

Обе волны в позитиве Икс Икс направление:

введите описание изображения здесь

Волна 2 идет немного вверх и вправо:

введите описание изображения здесь

Волна 2 идет почти на 90 градусов к волне 1:

введите описание изображения здесь

Волна 2 почти противоположна волне 1:

введите описание изображения здесь

Мне нравятся ваши визуализации, но в качестве ответа они на самом деле не стоят сами за себя, что является позором. Некоторые дополнительные объяснения того, что происходит и как это связано с вопросом, могли бы действительно сделать это отличным ответом.
Я также делаю симуляцию с помощью Matlab, но почему эта симуляция на основе Mathematica не является стоячей волной?
@ user1285419 Смотрите правки. Надеюсь, это поможет.
Спасибо, Майкл. Это работает сейчас. Могу ли я спросить, какую версию Mathematica вы используете? Код на самом деле не работает в моей математике 9. Но я пытаюсь использовать вместо этого Animate, он работает, но не выглядит гладко.
Я использую версию 9 на ноутбуке среднего класса. Я использовал ListAnimate до экспорта анимированных GIF-файлов. Дисплей в ноутбуке был не очень гладким, но экспортированные гифки были в порядке. Mathematica, вероятно, просто имеет очень тяжелый рендеринг для анимации, поэтому я предпочитаю экспортировать.

Первое, что вы, вероятно, должны сделать, просто чтобы избежать путаницы, это изменить имена ваших функций. С участием Y 1 Y 1 и Y 2 Y 2 есть возможность начать все путать. Кроме того, К ⃗ К → и р ⃗ р → векторы первой функции должны отличаться от векторов второй функции. Итак, давайте определимся

е 1 ( г ⃗ , т ) е 2 ( г ⃗ , т ) = грех ( к ⃗ ⋅ г ⃗ + ω т ) = грех ( д ⃗ ⋅ г ⃗ - ω т ) е 1 ( р → , T ) знак равно грех ⁡ ( К → ⋅ р → + ω T ) е 2 ( р → , T ) знак равно грех ⁡ ( Q → ⋅ р → - ω T )

где я дал К ⃗ К → вектор второй функции символ Q ⃗ Q → просто чтобы избежать необходимости использовать двойные подписки позже. Обратите внимание, что я не различал ω ω с обеих функций, поэтому мы предполагаем, что | К ⃗ | = | Q ⃗ | | К → | знак равно | Q → | , Наконец, я опустил амплитуду для простоты обозначений.

Написано по-другому, приведенные выше уравнения читать (предположим, 2D)

е 1 ( х , у , т ) е 2 ( х , у , т ) = грех ( к Икс х + к Y Y + ω т ) = грех ( д Икс х + д Y Y - ω т ) е 1 ( Икс , Y , T ) знак равно грех ⁡ ( К Икс Икс + К Y Y + ω T ) е 2 ( Икс , Y , T ) знак равно грех ⁡ ( Q Икс Икс + Q Y Y - ω T )

Сумма этих функций дает

е 1 + ф 2 = грех ( к Икс х + к Y Y + ω т ) + грех ( д Икс х + д Y Y - ω т ) = 2 греха ( к Икс х + к Y Y + q Икс х + д Y Y 2 ) потому что ( к Икс х + к Y Y + ω т - д Икс х - д Y Y + ω т 2 ) = 2 греха ( ( к Икс + q Икс ) х + ( к Y + q Y ) у 2 ) потому что ( ( к Икс - д Икс ) х + ( к Y - д Y ) у + 2 т 2 ) = 2 греха ( ( к ⃗ + q ⃗ ) ⋅ г ⃗ 2 ) потому что ( ( к ⃗ - д ⃗ ) ⋅ г ⃗ 2 + ω т ) е 1 + е 2 знак равно грех ⁡ ( К Икс Икс + К Y Y + ω T ) + грех ⁡ ( Q Икс Икс + Q Y Y - ω T ) знак равно 2 грех ⁡ ( К Икс Икс + К Y Y + Q Икс Икс + Q Y Y 2 ) соз ⁡ ( К Икс Икс + К Y Y + ω T - Q Икс Икс - Q Y Y + ω T 2 ) знак равно 2 грех ⁡ ( ( К Икс + Q Икс ) Икс + ( К Y + Q Y ) Y 2 ) соз ⁡ ( ( К Икс - Q Икс ) Икс + ( К Y - Q Y ) Y + 2 ω T 2 ) знак равно 2 грех ⁡ ( ( К → + Q → ) ⋅ р → 2 ) соз ⁡ ( ( К → - Q → ) ⋅ р → 2 + ω T )

Обратите внимание, что это сводится к случаю простых стоячих волн, если К ⃗ = q ⃗ К → знак равно Q → , Вы можете переписать это, используя сумму, получая (с е = ф 1 + ф 2 е знак равно е 1 + е 2 )

е = 2 греха ( ( к ⃗ + q ⃗ ) ⋅ г ⃗ 2 ) потому что ( ω т ) [ cos ( ( к ⃗ - д ⃗ ) ⋅ г ⃗ 2 ) - загар ( ω т ) грех ( ( к ⃗ - д ⃗ ) ⋅ г ⃗ 2 ) ] е знак равно 2 грех ⁡ ( ( К → + Q → ) ⋅ р → 2 ) соз ⁡ ( ω T ) [ соз ⁡ ( ( К → - Q → ) ⋅ р → 2 ) - загар ⁡ ( ω T ) грех ⁡ ( ( К → - Q → ) ⋅ р → 2 ) ]

Из обоих выражений ясно, что стоячие волны возможны только в том случае, если волновые векторы фактически равны. Если нет, то будет иметь место модуляция стоячей волны, определяемая коэффициентом между скобками в последнем уравнении, который является функцией обоих р ⃗ р → и T T , Причина, по которой ваше физическое мышление провалилось, заключается в нашем ограничении | К ⃗ | = | Q ⃗ | | К → | знак равно | Q → | , Действительно, единственный путь, по которому может возникать стоячая волна Икс Икс например, будет, если К Икс = q Икс К Икс знак равно Q Икс , но потому что | К ⃗ | = | Q ⃗ | | К → | знак равно | Q → | это также должно означать К Y = ± q Y К Y знак равно ± Q Y и поэтому К ⃗ = q ⃗ К → знак равно Q → или же К ⃗ = р ⃗ К → знак равно п → где п ⃗ п → соответствует знаку минус. Этот п ⃗ п → -вектор имеет ту же длину, что и Q ⃗ Q → но это делает угол π - θ π - θ с положительным Икс Икс ось, если Q ⃗ Q → делает угол θ θ ,

Если бы мы не ввели это ограничение, нам пришлось бы учитывать различные частоты ν ≠ ω ν ≠ ω потому как ω / | К ⃗ | = с 1 = с = с 2 = ν / | Q ⃗ | ω / | К → | знак равно с 1 знак равно с знак равно с 2 знак равно ν / | Q → | должен держать. Это дало бы зависимость от T T для синуса в уравнении второго к последнему, что делает стоячие волны снова невозможными, если только ω = ν ω знак равно ν бросая нас обратно в наши ограничения. Единственный выход, кажется, если с 1 ≠ с 2 с 1 ≠ с 2 , но это не физическая ситуация.

Привет, Ваутер, спасибо за подробное объяснение, иногда мне приходится повторять математику, но это достаточно хорошо. У меня есть один вопрос: если у нас есть волновой вектор, направленный под некоторым углом с осью х на плоскости ху, у нас будет два компонента К Икс К Икс и К Y К Y как вы показали в математике. Мне интересно с точки зрения компонента по осям x и y, будет ли волна все еще синусоидальной? Если это так, будет ли частота каждой составляющей волны ω ω также?
Полезно помнить, пытаясь выяснить, как выглядит любая функция вдоль Икс Икс - или же Y Y ось Y = 0 Y знак равно 0 на Икс Икс ось и х = 0 Икс знак равно 0 на Y Y -ось. Если вы положите Y = 0 Y знак равно 0 например в е 1 е 1 или же е 2 е 2 Вы видите, что это действительно синусоидальная функция с частотой ω ω ,
Спасибо за объяснение сомнения в частоте. Я работаю над математикой, которую вы показываете выше. Там вы заявили, когда К ⃗ = q ⃗ К → знак равно Q → , сводится к простой стоячей волне. Я думаю, что два волновых вектора не означают, что они распространяются в одном и том же направлении, потому что это К ⃗ / ω К → / ω сказать скорость не К ⃗ К → , верно? Так в чем же физический смысл, когда мы сказали К ⃗ = q ⃗ К → знак равно Q → ?
Извините, что беспокою снова, это немного сбивает с толку от математики. Как я понимаю, если мы предположим, | К ⃗ | = | Q ⃗ | | К → | знак равно | Q → | мы заключаем, что К 2 Икс + к 2 Y - - - - - - √ = к 2 Y + q 2 Y - - - - - - √ К Икс 2 + К Y 2 знак равно К Y 2 + Q Y 2 но подразумевает ли это К Икс = q Икс К Икс знак равно Q Икс и К Y = q Y К Y знак равно Q Y ? Если нет, то как мы узнаем, что получающаяся волна - это простое положение?
Ну, физический смысл волнового вектора К ⃗ К → является то, что он говорит нам направление, в котором движется волна и дает нам информацию о длине волны ( | К ⃗ | = 2 π / λ | К → | знак равно 2 π / λ ). Скорость волны определяется ω / | К ⃗ | ω / | К → | но его направление определяется К ⃗ К → , Поэтому, когда мы говорим, К ⃗ = q ⃗ К → знак равно Q → это действительно означает, что волны движутся в одном и том же направлении, и, кроме того, они имеют одинаковую длину волны. Я только что заметил небольшую ошибку, которую я сделал между прочим. у меня есть | К ⃗ | ω = с | К → | ω знак равно с в то время как это должно быть ω / | К ⃗ | ω / | К → | , Я изменю это.
Как добавить две плоские волны, если они распространяются в разных направлениях?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности54y, 0v