Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Question

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Физика
Раздел-функция
Статистико-механика

DavideL

Мне трудно применить грандиозную каноническую теорию к простому примеру. Я раскрываю свое понимание вопроса, проблемы, моей попытки решения, решения и моего вопроса об этих решениях; Я прошу прощения за длинный вопрос и буду очень благодарен любому, кто захочет пройти через это!

Я также добавляю ответ, включающий некоторые идеи и второе решение.

Preliminars

Я следую Кубо, Статистической Механике, но осмотр обозначений должен быть стандартным. Открытая система находится в контакте с температурой фиксации резервуара $T$ $T$ $T$ и химический потенциал $μ$ $μ$ $μ$ , Микросостояние открытой системы обозначается как $s$ $s$ $s$ ; большая каноническая функция разбиения

Z_{грамм} (T, В, μ) знак равно \underset{s}{Σ} е^{- β Е_{s} + β μ N_{s}}

где $s$ $s$ $s$ обозначает каждое доступное микросостояние системы, $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ количество частиц в этом микросостоянии, и $E_{s}$ $E_{s}$ $E_{s}$ $E_{s}$ $Е_{s}$ энергия этого микросостояния. Это может быть связано с функцией канонического разбиения $Z$ $Z$ $Z$ : позволять $l$ $l$ $L$ обозначим микросостояние для фиксированного числа частиц, затем

Z_{грамм} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N_{T о T}} (\underset{L}{Σ} е^{- β Е_{L}}) е^{β μ N_{s}} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N_{T о T}} Z (T, В, N_{s}) е^{β μ N_{s}}

Это полезно: $Z$ $Z$ $Z$ относительно трудно вычислить из-за фиксированного количества частиц, но $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $\sum_{N_{s} = 0}^{N_{t o t}}$ $Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N_{T о T}}$ позволяет избавиться от этого состояния. Мы рассмотрим свойства одной частицы :

$i$ $i$ $я$ пробегает по одной частице возможных микросостояний
$ϵ_{i}$ $ϵ_{i}$ $ϵ_{i}$ $ϵ_{i}$ $ε_{я}$ обозначает энергию государства $i$ $i$ $я$ это энергия, которую имеет одна частица, когда оказывается в состоянии $i$ $i$ $я$
$n_{i} =$ $n_{i} =$ $n_{i} =$ $n_{i} =$ $n_{i} =$ $n_{i} =$ $N_{я} знак равно$ номер занятия государства $i$ $i$ $я$ , то есть количество частиц, которые оказались в состоянии $i$ $i$ $я$ , Для фермионов $n_{i} = 0, 1$ $n_{i} = 0, 1$ $n_{i} = 0, 1$ $n_{i} = 0, 1$ $n_{i} = 0, 1$ $n_{i} = 0, 1$ $N_{я} знак равно 0, 1$ ; для бозонов $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $n_{i} = 0, 1, 2, . . .$ $N_{я} знак равно 0, 1, 2,,,,$ ,

Микросостояние всей системы $s$ $s$ $s$ затем определяется последовательностью номеров занятия $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $n_{1}, n_{2}, . . .$ $N_{1}, N_{2},,,,$ , и

N_{s} знак равно \underset{я}{Σ} N_{я}, Е_{s} знак равно \underset{я}{Σ} ε_{я} N_{я}

Каноническая функция разбиения

Z знак равно \underset{L}{Σ} е^{- β Е_{L}} знак равно \underset{с условием N_{s} знак равно \underset{я}{Σ} N_{я}}{\underset{⏟}{\underset{N_{1}}{Σ} \underset{N_{2}}{Σ},,, \underset{N_{я}}{Σ},,,}} е^{- β Е_{s}}

Включив это в великое каноническое уравнение

Z_{грамм} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N_{T о T}} \underset{с условием N_{s} знак равно \underset{я}{Σ} N_{я}}{\underset{⏟}{\underset{N_{1}}{Σ} \underset{N_{2}}{Σ},,, \underset{N_{я}}{Σ},,,}} е^{- β Е_{s}} е^{β μ N_{s}} знак равно \underset{на все возможные значения}{\underset{⏟}{\underset{N_{1}}{Σ} \underset{N_{2}}{Σ},,, \underset{N_{я}}{Σ},,,}} е^{- β \underset{я}{Σ} ε_{я} N_{я}} е^{β μ \underset{я}{Σ} N_{я}} знак равно \underset{я}{Π} \underset{N_{я}}{Σ} е^{- β (ε_{я} - μ) N_{я}}

Определим единую государственную гранд-каноническую функцию разбиения
$Z_{грамм, я} знак равно \underset{N_{я}}{Σ} е^{- β (ε_{я} - μ) N_{я}}$ $Z_{грамм} знак равно \underset{я}{Π} Z_{грамм, я}$

Проблема

Мы рассматриваем газ в контакте с твердой поверхностью (например, аргон на графене или молекулярный азот на железе, как в синтезе Хабера-Боша). Молекулы газа могут быть адсорбированы на $N$ $N$ $N$ конкретные сайты адсорбции, в то время как один сайт может связывать только одну молекулу. Энергии связанного и несвязанного состояния $ϵ$ $ϵ$ $ε$ и 0 соответственно. Газ выступает в качестве крепления резервуара $T$ $T$ $T$ и $μ$ $μ$ $μ$ ,

Как бы я поступил

Системную роль играет $N$ $N$ $N$ сайты адсорбции
Роль одной частицы играет один адсорбционный сайт
Сайт допускает два состояния , пусто $i = 0$ $i = 0$ $я знак равно 0$ и полный $i = 1$ $i = 1$ $я знак равно 1$
Соответствующие энергии $ϵ_{0} = 0$ $ϵ_{0} = 0$ $ϵ_{0} = 0$ $ϵ_{0} = 0$ $ϵ_{0} = 0$ $ϵ_{0} = 0$ $ε_{0} знак равно 0$ и $ϵ_{1} = ϵ$ $ϵ_{1} = ϵ$ $ϵ_{1} = ϵ$ $ϵ_{1} = ϵ$ $ϵ_{1} = ϵ$ $ϵ_{1} = ϵ$ $ε_{1} знак равно ε$
Численность занятий $n_{0}$ $n_{0}$ $n_{0}$ $n_{0}$ $N_{0}$ = количество пустых сайтов, $n_{1}$ $n_{1}$ $n_{1}$ $n_{1}$ $N_{1}$ = количество полных сайтов. Они оба работают от 0 до общего количества доступных сайтов, $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $n_{i} = 0, 1, . . ., N$ $N_{я} знак равно 0, 1,,,,, N$
Микросостояние системы определяется $n_{0}$ $n_{0}$ $n_{0}$ $n_{0}$ $N_{0}$ и $n_{1}$ $n_{1}$ $n_{1}$ $n_{1}$ $N_{1}$ такой, что $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $E_{s} = \sum_{i} ϵ_{i} n_{i} = n_{1} ϵ$ $Е_{s} знак равно \underset{я}{Σ} ε_{я} N_{я} знак равно N_{1} ε$ и $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} = \sum_{i} n_{i} = n_{0} + n_{1} = N$ $N_{s} знак равно \underset{я}{Σ} N_{я} знак равно N_{0} + N_{1} знак равно N$ ,

Великая каноническая функция разбиения должна читать $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ $x_{i} := e^{- β (ϵ_{i} - μ)}$ ${Икс}_{я} знак равно е^{- β (ε_{я} - μ)}$ )

Z_{грамм} знак равно Π_{я знак равно 0}^{1} Σ_{N_{я} знак равно 0}^{N} {Икс}_{я}^{N_{я}} знак равно Π_{я знак равно 0}^{1} \frac{1 - {Икс}_{я}^{N + 1}}{1 - {Икс}_{я}}

Что не так (оценивая продукт).

Что может быть не так

Присвоение узлам роли «одиночная частица» общего количества частиц фиксировано, а именно $N$ $N$ $N$ почему это должно быть разрешено изменить

Вопрос (см. Попытку ответа)

Что не так с этим подходом?

Решение А

Без дальнейшего объяснения, за исключением того факта, что сайты не взаимодействуют с лектором, эта страница и эта страница утверждают

Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}

Эта

z_{G}

z_{G}

z_{G}

z_{G}

Z_{грамм}

дается как

Z_{грамм} знак равно 1 + е^{- β (ε - μ)}

Вопросы (все еще открытые)

Это $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $Z_{грамм}$ используется здесь так же, как функция единого состояния большого канонического разбиения $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $Z_{грамм, я}$ определено выше?
Где $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}$ из?

Подобное каноническое отношение $Z = z^{N}$ $Z = z^{N}$ $Z = z^{N}$ $Z = z^{N}$ $Z = z^{N}$ $Z = z^{N}$ $Z знак равно Z^{N}$ для не взаимодействующих систем идентичных частиц происходит так: мы начинаем с N различимых частиц, помеченных как $j = 1, . . ., N$ $j = 1, . . ., N$ $j = 1, . . ., N$ $j = 1, . . ., N$ $j = 1, . . ., N$ $J знак равно 1,,,,, N$ ; $ϵ_{i j}$ $ϵ_{i j}$ $ϵ_{i j}$ $ϵ_{i j}$ $ε_{я J}$ это $i$ $i$ $я$ Уровень энергии $j$ $j$ $J$ -частицы. потом

Z знак равно \underset{L}{Σ} е^{- β Е_{L}} знак равно \underset{я_{1}}{Σ} \underset{я_{2}}{Σ},,, \underset{я_{J}}{Σ},,, е^{- β Σ_{J знак равно 1}^{N} ε_{J я_{J}}} знак равно (\underset{я_{1}}{Σ} е^{- β ε_{1 я_{1}}}),,, (\underset{я_{N}}{Σ} е^{- β ε_{N я_{N}}})

j

j

J

индекс может быть отброшен, если частицы идентичны, так что

Z_{J} знак равно Z знак равно \underset{я}{Σ} е^{- β ε_{я}}

Z знак равно Π_{J знак равно 1}^{N} Z знак равно Z^{N}

Вопрос (все еще открыт)

Индекс не может быть отброшен в отношении $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{грамм} знак равно \underset{я}{Π} Z_{грамм, я}$ , в качестве $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $z_{G, i}$ $Z_{грамм, я}$ это объект, строго связанный с государством $i$ $i$ $я$ Итак, еще раз, как это $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}$ получается?

Ответы (3)

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Яркое солнце · Answer 1

Я не уверен, что смогу прояснить все ваши сомнения, но это правильный подход к решению этой проблемы.

Мы считаем $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ доступные адсорбционные сайты, энергия $ϵ$ $ϵ$ $ε$ для каждого связанного состояния химический потенциал $μ$ $μ$ $μ$ и температура $T$ $T$ $T$ ,

Функция грандпартии $Q$ $Q$ $Q$ всегда выражается как

Q знак равно Σ_{N знак равно 0}^{\infty} е^{β μ N} Z_{N}

с точки зрения

N

N

N

-частичная функция разбиения. Последний определяется

Z_{N} знак равно \underset{\begin{matrix} N - частица \\ состояния \end{matrix}}{Σ} е^{- β Е (государство)},

В нашем случае энергия данного

N

N

N

-частичное состояние ансамбля связанных состояний

N ϵ

N ϵ

N ϵ

N ϵ

N ε

и здесь

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

(\binom{N_{s}}{N})

такие

N

N

N

-частица, так как каждый из

N

N

N

связанные состояния можно разместить, выбрав один сайт среди

N_{s}

N_{s}

N_{s}

N_{s}

N_{s}

сайты, без повторов:

Z_{N} знак равно (\binom{N_{s}}{N}) е^{- β ε N},

Обратите внимание, что эта функция разбиения не имеет факторизованной формы. В заключение,

Q знак равно Σ_{N знак равно 0}^{\infty} (\binom{N_{s}}{N}) е^{β (μ - ε) N} знак равно Σ_{N знак равно 0}^{N_{s}} (\binom{N_{s}}{N}) е^{β (μ - ε) N} знак равно (1 + е^{β (μ - ε)})^{N_{s}},

РЕДАКТИРОВАТЬ: Можно также рассуждать напрямую, используя функцию grandpartition следующим образом. Использование представления номера занятия ${n_{α, k}}$ ${n_{α, k}}$ ${n_{α, k}}$ ${n_{α, k}}$ ${n_{α, k}}$ ${n_{α, k}}$ ${N_{α, К}}$ для невзаимодействующих частиц, с $| α, k ⟩$ $| α, k ⟩$ $| α, k ⟩$ $| α, К ⟩$ маркировка одночастичных состояний энергией $ϵ_{α}$ $ϵ_{α}$ $ϵ_{α}$ $ϵ_{α}$ $ε_{α}$ и $g_{α}$ $g_{α}$ $g_{α}$ $g_{α}$ ${грамм}_{α}$ кратное вырождение $k = 1, 2, \dots, g_{α}$ $k = 1, 2, \dots, g_{α}$ $k = 1, 2, \dots, g_{α}$ $k = 1, 2, \dots, g_{α}$ $К знак равно 1, 2, ..., {грамм}_{α}$ ,

Q знак равно Σ_{N знак равно 0}^{\infty} е^{β μ N} \underset{\begin{matrix} {N_{α, К}} : \\ \underset{α, К}{Σ} N_{α, К} знак равно N \end{matrix}}{Σ} е^{- β \underset{α, К}{Σ} N_{α, К} ε_{α}} знак равно \underset{{N_{α, К}}}{Σ} е^{β \underset{α, К}{Σ} N_{α, К} (μ - ε_{α})} знак равно \underset{α, К}{Π} \underset{N_{α, К}}{Σ} е^{β (μ - ε_{α}) N_{α, К}},

Это доказательство того, что для невзаимодействующих систем функция grandpartition всегда принимает факторизованную форму

Q знак равно \underset{α, К}{Π} (\underset{N_{α, К}}{Σ} е^{β (μ - ε_{α}) N_{α, К}}),

В данном случае все одночастичные состояния имеют энергию

ϵ

ϵ

ε

и иметь множественность

N_{s}

N_{s}

N_{s}

N_{s}

N_{s}

; в приведенных выше обозначениях

α = 1

α = 1

α знак равно 1

и

k = 1, 2, \dots, N_{s}

k = 1, 2, \dots, N_{s}

k = 1, 2, \dots, N_{s}

k = 1, 2, \dots, N_{s}

К знак равно 1, 2, ..., N_{s}

так

Q знак равно Π_{К знак равно 1}^{N_{s}} (1 + е^{β (μ - ε)}) знак равно (1 + е^{β (μ - ε)})^{N_{s}},

Спасибо, это именно решение B в моем ответе (обмен $N$ $N$ $N$ и $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ см. параграф «Что должно быть сделано», подтверждающий правильность подхода Кубо. Моим главным сомнением остается происхождение уравнения $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}$ хотя, широко используется в литературе.
@DavideL Я добавил метод для работы только с функцией grandpartition, возможно, это идет в направлении прояснения ваших сомнений.
@DavideL Рад, что это помогло, и теперь я понимаю, откуда взялась путаница. Только я хотел бы подчеркнуть, что власть $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ не из-за вовлеченного «числа частиц», которое зафиксировано не в гранд-каноническом ансамбле, а из-за вырождения одночастичных состояний.

DavideL · Answer 2

Вопросы занимали буквально часы, и во время написания я, возможно, получил частичное понимание проблемы, которую я постараюсь раскрыть здесь.

Вопрос

Что не так с этим подходом?

Ответ

Выбор системы : фиксированный номер $N$ $N$ $N$ сайтов не дает хорошего гран-канонического ансамбля и $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{G} = \prod_{i} z_{G, i}$ $Z_{грамм} знак равно \underset{я}{Π} Z_{грамм, я}$ не применяется.

По смыслу $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $Z_{грамм}$

Как указано в решении, $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $z_{G} = 1 + e^{- β (ϵ - μ)}$ $Z_{грамм} знак равно 1 + е^{- β (ε - μ)}$ , Формально это точно

Σ_{N знак равно 0}^{1} е^{- β (ε - μ) N} знак равно Σ_{N знак равно 0}^{1} е^{- β ε N + β μ N} ~ \underset{N}{Σ} е^{- β Е_{N} + β μ N}

Это выражение напоминает одну из функций полного большого канонического разбиения и предлагает следующую интерпретацию: оно описывает систему

чье микросостояние определяется $n = 0, 1$ $n = 0, 1$ $N знак равно 0, 1$
чья энергия в микросостоянии $n$ $n$ $N$ является $ϵ n$ $ϵ n$ $ε N$
такое, что количество элементов в системе, когда в микросостоянии $n$ $n$ $N$ это точно $n$ $n$ $N$

Эта система является одним местом адсорбции, а элементы в системе - это захваченные частицы. Это число может изменяться (от нуля до единицы), так что это хороший гран-канонический ансамбль. Эта картина может прояснить ситуацию. Слева массив $N$ $N$ $N$ Адсорбционные сайты - это система, а один сайт - это элемент; справа один сайт - это система, а захваченная (или нет) частица - это элемент.

Тогда имеет смысл написать для системы на правой стороне

Z_{грамм} знак равно Σ_{N знак равно 0}^{1} е^{- β ε N + β μ N}

Это еще нужно уточнить, как $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$

Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}

,

Решение Б

Кубо, паг. 92. Он обозначает $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ количество полных сайтов, то есть захваченных частиц, и рассчитывает каноническую функцию разбиения. Что не следует делать двумя неправильными, хотя и попытками способами, дающими одинаковый результат:

Первый путь

Z знак равно Z^{N} знак равно {(Σ_{я знак равно 0}^{1} е^{- β ε_{я}})}^{N} знак равно (1 + е^{- β ε})^{N}

Второй способ

На этот раз мы считаем системой занятые сайты : количество $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ занятых сайтов может варьироваться между $0$ $0$ $0$ и $N$ $N$ $N$ и энергия системы в микросостоянии $s$ $s$ $s$ является $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $E_{s} = ϵ N_{s}$ $Е_{s} знак равно ε N_{s}$ , так (используя формулу Ньютона)

Z знак равно \underset{s}{Σ} е^{- β Е_{s}} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N} \underset{вырождение}{\underset{⏟}{{грамм}_{s}}} е^{- β ε N_{s}} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N} (\binom{N}{N_{s}}) е^{- β ε N_{s}} знак равно (1 + е^{- β ε})^{N}

Что нужно сделать, так это сначала вычислить каноническую функцию разбиения для заданного значения $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ $N_{s}$ между $0$ $0$ $0$ и $N$ $N$ $N$ , Для этого фиксированного значения энергия системы всегда $ϵ N_{s}$ $ϵ N_{s}$ $ϵ N_{s}$ $ϵ N_{s}$ $ε N_{s}$ с вырождением $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ $(\binom{N}{N_{s}})$ :

Z (N_{s}) знак равно \underset{распределения N_{s} частицы в N коробках}{Σ} е^{- β ε N_{s}} знак равно (\binom{N}{N_{s}}) е^{- β ε N_{s}}

Далее следует большая каноническая функция разбиения (по формуле Ньютона):

Z_{грамм} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N} Z (N_{s}) е^{β μ N_{s}} знак равно Σ_{N_{s} знак равно 0}^{N} (\binom{N}{N_{s}}) {(е^{- β (ε - μ)})}^{N_{s}} знак равно (1 + е^{- β (ε - μ})^{N}

Это может быть принято как искомое доказательство того, что $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{G} = z_{G}^{N}$ $Z_{грамм} знак равно Z_{грамм}^{N}$

К. Милас · Answer 3

Я нашел этот способ понять (пожалуйста, кто-нибудь, сообщите мне, если это считается неправильной общей формулой!):

Мы знаем это:

ZG = ZG1 * ZG2 * ...

Рассмотрим случай с 1 одночастичной энергией, но с вырождением g1 = 2. Тогда ZG можно записать как:

ZG = ZG1 * ZG1 (поскольку мы должны учитывать каждое состояние отдельной частицы).

Так что на самом деле это ZG = (ZG1) ^ g1.

Вы можете легко расширить до r состояний с одной частицей с вырождением gr каждое, чтобы:

ZG = ((ZG1) ^ g1) * ((ZG2) ^ g2) * * * ((ZGr) ^ гр)

Привет К. Милас, добро пожаловать в физику. Обратите внимание, что этот сайт поддерживает Mathjax - движок, позволяющий писать формулы с помощью латексоподобных команд. См. Базовый учебник MathJax и краткий справочник для более подробной информации. Обратите внимание, что все пользователи должны использовать это, так как становится очень трудно понять формулы без него. Спасибо.

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

DavideL

Preliminars

Проблема

Как бы я поступил

Что может быть не так

Вопрос (см. Попытку ответа)

Решение А

Вопросы (все еще открытые)

Вопрос (все еще открыт)

Ответы (3)

Яркое солнце

DavideL

Яркое солнце

DavideL

DavideL

Яркое солнце

DavideL

Вопрос

Ответ

По смыслу $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $Z_{грамм}$

Решение Б

К. Милас

AccidentalFourierTransform

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

Какова теорема Голдстоуна для классических, чисто термодинамических систем?

Momentum Shell RG для модели Ising

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?

Порт STM32f4 для HAL: USB HID отбрасывает пакеты

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

DavideL

Preliminars

Проблема

Как бы я поступил

Что может быть не так

Вопрос (см. Попытку ответа)

Решение А

Вопросы (все еще открытые)

Вопрос (все еще открыт)

Ответы (3)

Яркое солнце

DavideL

Яркое солнце

DavideL

DavideL

Яркое солнце

DavideL

Вопрос

Ответ

По смыслу Z грамм Z грамм

Решение Б

К. Милас

AccidentalFourierTransform

По смыслу $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $z_{G}$ $Z_{грамм}$