Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Question

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Физика
Статистико-механика
Броуновское-движение
Стохастические-процессы
Корреляционная-функция
Домашние-задания-и-упражнения

Белла

Учитывая броуновскую частицу, подверженную трению $γ$ $γ$ $γ$ и гауссовский белый шум $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (T)$ с дисперсией $σ$ $σ$ $σ$ , уравнения Ланжевена

{\begin{cases} \frac{d v (T)}{d T} знак равно - \frac{γ}{м} v (T) + \frac{1}{м} ξ (T) \\ \frac{d v (T)}{d T} знак равно v (T) \end{cases}

Можно решить эти уравнения и, предполагая, $v (0) = 0$ $v (0) = 0$ $v (0) знак равно 0$ получить

{⟨ v^{2} (T) ⟩}_{ξ} знак равно \frac{грамм}{2 м γ} (1 - е^{- 2 \frac{γ}{м} T}),

где $g$ $g$ $грамм$ исходит из дельта-коррелированного шума,

{⟨ ξ (T_{1}) ξ (T_{2}) ⟩}_{ξ} знак равно грамм δ (T_{2} - T_{1}),

Вопрос: то, что я сейчас хочу знать, это возможно ли вычислить ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (T) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (T) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (T) ⟩}_{ξ}$ и т. д., от ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (T) ⟩}_{ξ}$ , Это?

Я знаю, что мы можем вычислить интегралы, вытекающие из этого, непосредственно, используя теорему Вика, например, у нас есть следующее тождество, которое можно использовать для вычисления ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (T) ⟩}_{ξ}$

{⟨ ξ (T_{1}) ξ (T_{2}) ξ (T_{3}) ξ (T_{4}) ⟩}_{ξ} знак равно {⟨ ξ (T_{1}) ξ (T_{2}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (T_{4}) ξ (T_{4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (T_{1}) ξ (T_{3}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (T_{2}) ξ (T_{4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (T_{1}) ξ (T_{4}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (T_{2}) ξ (T_{3}) ⟩}_{ξ}

но я хотел бы знать, сможем ли мы избежать долгого пути вычисления всех этих интегралов, просто используя результат для ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (T) ⟩}_{ξ}$ ,

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Делая интегральную "грубую силу", используя теорему Вика, я вычислил ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (T) ⟩}_{ξ}$ и получил

{⟨ v^{4} (T) ⟩}_{ξ} знак равно 3 {(\frac{грамм}{2 м γ})}^{2} е^{- \frac{4 γ}{м} T} {(е^{\frac{2 γ}{м} T} - 1)}^{2}

Мой расчет длинный и поэтому я просто публикую окончательный результат. Я не знаю, правильно ли это, но если вам это известно или вы знаете, какую ссылку проверить, не могли бы вы сообщить мне, если этот результат верный? Буду благодарен!

DanielSank

Теорема Вика - путь. Вы можете, вероятно, выяснить рекурсивный шаблон, чтобы сэкономить время, хотя.

Белла

Спасибо @DanielSank. Я действительно хотел бы найти это, но тем временем я пытался сделать это грубой силой для четвертой власти. Я не знаю, правильный ли мой результат. У вас есть какой-нибудь способ проверить? Это было бы очень полезно. Я отредактирую вопрос и опубликую свой результат. Пожалуйста, дайте мне обратную связь! :)

LonelyProf

Не уверен, почему нужно делать какие-либо интегралы.

v (t)

v (t)

v (T)

просто распределен как гауссиан с нулевым средним, так что четвертый момент в 3 раза больше второго момента в квадрате и т. д., как показывает ваш результат грубой силы.

Ответы (1)

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Теорема Вика - путь. Вы можете, вероятно, выяснить рекурсивный шаблон, чтобы сэкономить время, хотя.
Спасибо @DanielSank. Я действительно хотел бы найти это, но тем временем я пытался сделать это грубой силой для четвертой власти. Я не знаю, правильный ли мой результат. У вас есть какой-нибудь способ проверить? Это было бы очень полезно. Я отредактирую вопрос и опубликую свой результат. Пожалуйста, дайте мне обратную связь! :)
Не уверен, почему нужно делать какие-либо интегралы. $v (t)$ $v (t)$ $v (T)$ просто распределен как гауссиан с нулевым средним, так что четвертый момент в 3 раза больше второго момента в квадрате и т. д., как показывает ваш результат грубой силы.

LonelyProf · Answer 1

Надеюсь, вы извините меня за то, что я скопировал мой комментарий в качестве ответа. Уравнение Ланжевена является линейным, поэтому гауссовский характер случайной силы предполагает, что $v (t)$ $v (t)$ $v (T)$ распространяется как гауссовский. Следовательно, при нулевой начальной скорости четвертый момент в 3 раза больше квадрата второго момента и т. Д. Это то, что вы нашли, когда делали расчет грубой силы.

[Изменить следующий комментарий OP]

Подробнее. Для гауссовской распределенной переменной все моменты определяются первыми двумя. Таблицу можно найти, например, на странице Википедии в разделе «Моменты» (где они также дают общую формулу). В случае, если распределение имеет нулевое среднее $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (T) ⟩ знак равно 0$ применяются формулы в правом столбце этой таблицы (центральные моменты): если $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (T)^{2} ⟩ знак равно σ^{2}$ , затем $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (T)^{4} ⟩ знак равно 3 σ^{4}$ , $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (T)^{6} ⟩ знак равно 15 σ^{6}$ и т.д. Если начальная скорость не равна нулю, это означает, что $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (T) ⟩ знак равно μ \neq 0$ применяются формулы в центральной колонке: немного сложнее, но далеко не так плохо, как на самом деле записывать интегралы по случайной силе.

Другой способ выразить это состоит в том, чтобы сказать, что кумулянты более высокого порядка гауссова распределения равны нулю (имеется в виду, более высокий порядок, чем второй кумулянт).

Спасибо! Боюсь, я не понимаю твоих рассуждений. Почему вы говорите, что четвертый момент в 3 раза больше квадрата второго? И как это обобщается для высших сил?
Я отредактировал свой ответ соответственно!
Спасибо. Тогда просто уточнить, так как вы использовали один и тот же символ: вы определяете ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (T) ⟩}_{ξ} знак равно σ^{2}$ , но это не то же самое $σ$ $σ$ $σ$ для дисперсии случайной силы, которую я определил выше, верно?
Извините, что не объяснил это. Я просто использовал $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ (и $μ$ $μ$ $μ$ ), чтобы соответствовать таблице на странице Википедии, и, конечно, я имел в виду дисперсию (и среднее значение) переменной $v (t)$ $v (t)$ $v (T)$ , Я должен был сказать, что это не параметр, связанный с распределением случайной силы.

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Белла

DanielSank

Белла

LonelyProf

Ответы (1)

LonelyProf

Белла

LonelyProf

Белла

LonelyProf

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Найти электрический потенциал за счет распределения линейного заряда?

Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

Какова теорема Голдстоуна для классических, чисто термодинамических систем?

Momentum Shell RG для модели Ising

Вариация модифицированного действия Эйнштейна Гильберта

Проблема электромагнетизма: откуда берется магнитное поле?

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?