Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Question

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Тим

Почему мы можем написать произвольный объект $v_{a \dot{b} }$ наши преобразования в этом базисе действуют как

в_{а \dot{б}} "=" в_{ν} о_{а \dot{б}}^{ν} "=" в^{0} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + в^{1} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + в^{2} (\begin{matrix} 0 & - я \\ я & 0 \end{matrix}) + в^{3} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$v_{a \dot{b} } = v_{\nu} \sigma^{ \nu}_{a \dot{b} } = v^0 \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + v^1 \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} +v^2 \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix} + v^3 \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$

Сформулировать по-другому: Откуда мы знаем, что векторное пространство для $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ представлением группы Лоренца является пространство эрмитовых $2\times2$ матрицы? Векторное пространство для $(\frac{1}{2},0)$ представительство $\mathbb{C}^2$ и я думаю, то же самое верно и для $(0,\frac{1}{2})$ представление, но я не могу собрать его вместе, чтобы получить эрмитовы матрицы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я нашел в книге «Симметрия и стандартная модель: математика и физика частиц» Мэтью Робинсона следующее объяснение.

Напомним, что точно так же, как любая вещественная матрица может быть записана в виде суммы симметричной и антисимметричной матриц, любая комплексная матрица может быть записана в виде суммы эрмитовой и антиэрмитовой матриц. Однако два индекса на нашей матрице $v^{a \dot b}$ преобразовывать по представлениям $SU(2)$ . Обратите внимание, что в генераторах этих копий $SU(2)$ , оба комплекта генераторов $N^-$ и $N^+$ эрмитовы (ср. (3.229)). Итак, мы ограничим наше обсуждение случаем, когда $v^{a \dot b}$ является отшельником $2 \times 2$ матрица.

Если бы кто-нибудь мог помочь мне понять эту мысль, моя проблема была бы решена.

Почему это позволяет нам «ограничить наше обсуждение случаем, когда $v^{a \dot b}$ является отшельником $2 \times 2$ матрица"?

Я понимаю, что наше представительство здесь действует на сложных $2\times2$ матрицы. Но я не понимаю, почему мы можем ограничиться эрмитовыми матрицами.

проф. Леголасов

Я не понимаю вашего вопроса. Конечные векторные пространства изоморфны, если (и только если) они имеют одинаковую размерность.

Тим

@Hindsight Спасибо за ваш комментарий. Моя проблема заключается в том, чтобы понять, почему

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ представления преобразований Лоренца действуют на эрмитовых

2 \times 2

$2\times2$ матрицы. Вторая часть моего вопроса - это только моя попытка найти ответ. Потому что у нас есть

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Я подумал, может быть, соответствующее векторное пространство

C^{2} \otimes C^{2}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ и это как-то оправдывает, что объекты, живущие в этом представлении, эрмитовы.

2 \times 2

$2\times2$ матрицы.

любопытный разум

Тим, твой комментарий правильный, я думаю. Спинорное представление Дирака действует на

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Эрмитовы матрицы 2x2

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ как векторное пространство и, следовательно, могут быть встроены в представление Дирака, но я не думаю, что они на самом деле являются полным пространством представления для комплексного представления . Может быть, подразумевается, что это реальная форма обычного представления.

Тим

Насколько я знаю, спиноры Дирака превращаются в соответствии с

(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ Представление группы Лоренца. Затем

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ или

C^{2} \oplus C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ правильный?

любопытный разум

С

C^{n} \otimes C^{m} = C^{n + m}

$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ и

C^{n} \oplus C^{m} = C^{n m}

$\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , для

n = m = 2

$n=m=2$ , они оба правильные.

Тим

@ACuriousMind Разве это не означает, что представление Дирака и векторное представление эквивалентны, потому что оба действуют на элементы

C^{2}

$\mathbb{C}^2$ ? В моем понимании представление — это отображение (гомоморфизм) линейных операторов над векторным пространством. Если векторное пространство одно и то же, то в каком смысле они различны? Я знаю, что они совершенно разные, потому что представление Дирака приводимо, а векторное представление — нет. Кроме того, спиноры Дирака преобразуются совершенно иначе, чем векторы.

ГЛС

по теме: физика.stackexchange.com/q /149455/58382

Qмеханик

Связано: физика.stackexchange.com /q/28505/2451 , физика.stackexchange.com /q/158958/2451

Ответы (2)

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Я не понимаю вашего вопроса. Конечные векторные пространства изоморфны, если (и только если) они имеют одинаковую размерность.
@Hindsight Спасибо за ваш комментарий. Моя проблема заключается в том, чтобы понять, почему $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ представления преобразований Лоренца действуют на эрмитовых $2\times2$ матрицы. Вторая часть моего вопроса - это только моя попытка найти ответ. Потому что у нас есть $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Я подумал, может быть, соответствующее векторное пространство $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ и это как-то оправдывает, что объекты, живущие в этом представлении, эрмитовы. $2\times2$ матрицы.
Тим, твой комментарий правильный, я думаю. Спинорное представление Дирака действует на $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Эрмитовы матрицы 2x2 $\mathbb{R}^4$ как векторное пространство и, следовательно, могут быть встроены в представление Дирака, но я не думаю, что они на самом деле являются полным пространством представления для комплексного представления . Может быть, подразумевается, что это реальная форма обычного представления.
Насколько я знаю, спиноры Дирака превращаются в соответствии с $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ Представление группы Лоренца. Затем $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ или $\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ правильный?
С $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ и $\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , для $n=m=2$ , они оба правильные.
@ACuriousMind Разве это не означает, что представление Дирака и векторное представление эквивалентны, потому что оба действуют на элементы $\mathbb{C}^2$ ? В моем понимании представление — это отображение (гомоморфизм) линейных операторов над векторным пространством. Если векторное пространство одно и то же, то в каком смысле они различны? Я знаю, что они совершенно разные, потому что представление Дирака приводимо, а векторное представление — нет. Кроме того, спиноры Дирака преобразуются совершенно иначе, чем векторы.
по теме: физика.stackexchange.com/q /149455/58382
Связано: физика.stackexchange.com /q/28505/2451 , физика.stackexchange.com /q/158958/2451

Голограф · Answer 1

В комментариях следует подчеркнуть, что любое конечномерное векторное пространство изоморфно любому другому пространству той же размерности.

Что определяет представление группы, так это действие элементов группы на векторное пространство. Тогда часто бывает удобно выбрать какое-то конкретное проявление пространства представления, в котором действие выглядит хорошо или знакомо.

В случае собственной группы Лоренца для классификации представлений используется тот факт, что ее комплексификация изоморфна (с точностью до $\mathbb{Z}_2$ ) к $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ , поэтому элемент может быть задан парой $(A,B)$ из $SL(2,\mathbb{C})$ матрицы. Затем $(\frac12,\frac12)$ представление можно удобно описать как действующее на пространстве $2\times2$ матрицы как

(А, Б) : М \mapsto А М Б^{†} .

$(A,B):M\mapsto A M B^\dagger.$ Это естественно, если подумать

M

$M$ как тензорное произведение векторов в

(\frac{1}{2}, 0)

$(\frac12,0)$ и

(0, \frac{1}{2})

$(0,\frac12)$ представления, как

M = u v^{†}

$M=u v^\dagger$ (или сумма таких терминов).

Чтобы увидеть отношение к векторному представлению, запишите матрицы как

М "=" (\begin{matrix} т + г & Икс - я у \\ Икс + я у & т - г \end{matrix})

$M=\begin{pmatrix}t+z & x-i y\\ x+iy & t-z \end{pmatrix}$ и заметим, что определитель

t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}

$t^2-x^2-y^2-z^2$ , и далее, что это сохраняется под действием группы. Используя

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ базис вместо этих матриц давал бы обычное преобразование векторов Лоренца. Переходя от усложнения к реальному сечению

S O (3, 1)_{+}

$SO(3,1)_+$ ограничивает вас одним

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb{C})$ , что соответствует

A = B

$A=B$ как здесь написано, так что Отшельничество (или реальность

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ ) также сохраняется.

Большое спасибо за ваш ответ. На самом деле, я собирался спросить вас в другом вопросе, не могли бы вы взглянуть на этот вопрос :) К сожалению, я до сих пор не понимаю, почему $M$ должен быть эрмитовым и никак иначе. Я понимаю, что это должно быть $2\times2$ , потому что мы используем двумерное представление для обеих копий $SL(2,\mathbb{C})$ и поведение трансформации, которое вы описываете, но отшельничность для меня все еще не очевидна.
Эрмитовость исходит из условия реальности: пространство эрмитовых матриц есть реальное векторное пространство, сохраняемое действием группы. Дело в том, что $SO(3,1)$ соответствует $A=B$ следует, потому что два $\mathfrak{sl}(2)$ алгебры связаны комплексным сопряжением (поскольку они происходят из $J+i K$ и $J-i K$ ).
Хорошо, но тогда я не понимаю состояния реальности, о котором вы говорите. Почему следует из $(\frac{1}{2},0)^\star= (0,\frac{1}{2})$ что $(\frac12,\frac12)$ действует на вещественное векторное пространство?
Я отредактировал вопрос цитатой из книги, которая, я думаю, использует тот же ход мыслей, что и вы здесь. Может это поможет понять в чем моя проблема
Вы можете заставить группу воздействовать на все матрицы, если хотите: 8-(вещественное)-мерное пространство. Но множество эрмитовых матриц (или антиэрмитовых) инвариантно, поэтому это представление приводимо, как прямая сумма двух представлений 4-х вещественных измерений.
Потрясающе спасибо! Кажется, я почти понял это сейчас. Два небольших вопроса: значит ли это, что мы можем работать и с антиэрмитовыми матрицами? Если да, то дает ли это тот же результат, потому что эти два представления связаны выбором базиса? И, во-вторых, знаете ли вы какую-нибудь книгу или PDF-файл, в которых явно показано, что эрмитовы матрицы здесь инвариантны?
Я смог вычислить его сам, и поэтому последний вопрос устарел.

Qмеханик · Answer 2

Голограф уже дал правильный ответ. Попробуем здесь лишь подчеркнуть основные моменты.

Для проверки размеров обратите внимание, что левая сторона. и правая сторона изоморфизма представлений
$\begin{matrix} (1) & (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ≅ {М а т}_{2 \times 2} (С) \end{matrix}$ $\tag{1} (\frac{1}{2},\frac{1}{2})~\cong~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ оба имеют 4 комплексных измерения, ср. например, этот пост Phys.SE. Менять правую не имеет смысла . (1) с векторным пространством $u(2)$ Эрмитова $2\times 2$ матрицы, потому что она имеет только 4 реальных измерения.
Причина, по которой векторное пространство $u(2)$ Эрмитова $2\times 2$ появляются потому, что векторное представление группы Лоренца — это пространство Минковского $M(1,3;\mathbb{R})\cong u(2)$ , которое, в свою очередь, изоморфно векторному пространству $u(2)$ Эрмитова $2\times 2$ матрицы. Комплексифицированное пространство Минковского $M(1,3;\mathbb{C})\cong {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ тогда изоморфно векторному пространству ${\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ комплекса $2\times 2$ матрицы. Более подробная информация и обоснование приведены, например, в этом сообщении Phys.SE.

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Тим

проф. Леголасов

Тим

любопытный разум

Тим

любопытный разум

Тим

ГЛС

Qмеханик

Ответы (2)

Голограф

Тим

Голограф

Тим

Тим

Голограф

Тим

Тим

Qмеханик

Спиновые представления группы Лоренца

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Как доказать спинорное преобразование Вейля как представление группы Лоренца?

Калибровочная инвариантность и форма действия Рариты-Швингера

Доказательство неэквивалентности правого и левого спинорных представлений

Как отличить спинор от 4-вектора?