Как эквивалентны определения когерентного состояния?

Я пытаюсь понять когерентные состояния . Насколько я смог найти, есть три эквивалентных определения, и вообще многие источники начинаются с другого, но я не вижу их эквивалентности. Я повторяю определения и их эквиваленты, данные на странице Википедии:

  1. Собственное состояние оператора уничтожения:
    а | α ⟩ знак равно α | α ⟩
  2. Оператор перемещения вакуума:
    | α ⟩ знак равно е α а † − α * а | 0 ⟩
  3. Состояние минимальной неопределенности:
    Δ Икс знак равно Δ п знак равно 1 2

Я не вижу, как они одинаковы! Может кто-нибудь объяснить, как получить их друг от друга?

Обратите внимание, что (1) не следует очень прямо из (3), потому что сжатые состояния также являются состояниями с минимальной неопределенностью, но не обязательно должны быть собственными состояниями а . Однако всегда найдется какой -нибудь оператор уничтожения б ^ знак равно ты Икс ^ + я в у ^ для которых они являются собственными состояниями.
@EmilioPisanty, поэтому (3) имеет \ delta X = \ delta P (при выборе единиц, где m = \ hbar = \ omega = 1). Сжатые состояния не удовлетворяют равенству.
Вы определенно можете это сделать, но обратите внимание, что параметр ю знак равно 1 никоим образом не является естественной единицей. Вы можете установить − я [ Икс , п ] знак равно ℏ знак равно 1 , но с указанием ю а также м делает немного насилия к фазовому пространству. Вы должны либо сказать Δ Икс Δ п знак равно 1 2 ⇒ ∃ а :   а | α ⟩ знак равно α | α ⟩ , или укажите минимальные неопределенности, которые вы устанавливаете с точки зрения констант, определяющих а с точки зрения Икс а также п .
Хм, мне нравится термин «насилие в фазовом пространстве». Или вместо этого можно определить (3) как Δ Икс знак равно ℏ 2 м ю , Δ п знак равно ℏ м ю 2 ? Будет ли в этом случае удовлетворяться и это отношение сжатыми состояниями?
Связано: physics.stackexchange.com/q/60655/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

Обратитесь к хорошему дополнению о когерентных состояниях в книге Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ, том 1. Оно начинается с определения когерентных состояний как ни одного из упомянутых вами, а затем выводит все свойства.

Чтобы ответить на вопрос, если вы начнете с определения 2, вы можете легко показать 1, а затем из 2, 3. Сначала разложите экспоненту с помощью формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа :

е α а † − α * а знак равно е α а † е − α * а е − 1 2 | α | 2 [ а † , − а ]
и пусть действует на состояние вакуума | 0 ⟩ получить
| α ⟩ знак равно е − | α | 2 / 2 е α а † е − α * а | 0 ⟩ знак равно е − | α | 2 / 2 е α а † | 0 ⟩ знак равно е − | α | 2 / 2 ∑ н знак равно 0 ∞ α н н ! | н ⟩
Теперь, когда у вас есть выражение для | α ⟩ с точки зрения состояний, которые вы уже знаете, вы можете оперировать а на нем, чтобы найти, что это действительно собственное состояние понижающего оператора, показывая, что определение 2 влечет за собой определение 1.

Свойство 3 следует из нахождения ⟨ Икс 2 ⟩ а также ⟨ п 2 ⟩ для этого состояния, выражая операторы через а а также а † , довольно стандартное упражнение.

Извините, можете уточнить, почему е − α * а | 0 ⟩ знак равно | 0 ⟩ «Я этого не вижу. Если я разложу экспоненциальную функцию в ряд Тейлора, то весь этот член должен просто вычисляться до нуля.
@Quantumwhisp, когда вы расширяете его член нулевого порядка (в а ) экспоненциального ряда есть тождество, которое дает | 0 ⟩ .
Ожидаемое значение, скажем, числового оператора в когерентном состоянии | α > оказывается | α | 2 . Если мы выберем α знак равно | α | е я θ , то каковы типичные значения для | α | а также θ ?
Как эквивалентны определения когерентного состояния?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v