Как получить матричную форму потенциального оператора в нотации Дирака в позиционном представлении?

У меня есть идея, но я не знаю, правильная ли она. Сначала легко доказать, что полином от оператора x можно вынести за скобки:$\langle x'|\hat{x}^{n}|x''\rangle=(x'')^{n}\,\delta(x'-x'')$. А потенциал V(x) можно разложить в ряд Тейлора. Так что, очевидно, правильно вывести V(x) из скобки напрямую.

Вы хотите иметь свойство, которое действует$V$на векторе$\psi$просто умножается, так что в базисе x компоненты нового вектора равны$V(x)\psi(x)$:

$\langle x|V|\psi\rangle =V(x)\psi(x)$

Включить личность через$\int |x'\rangle \langle x'|dx'$в ЛС:

$\int \langle x|V|x'\rangle \langle x'|\psi\rangle dx'=V(x)\psi(x)$

Чтобы удовлетворить это, вам нужно$\langle x | V|x'\rangle =\delta(x-x')V(x')$. Неважно, поставите ли вы аргумент V как$x$или как$x'$поскольку дельта-функция симметрична по этим аргументам. Затем, заметив, что$\langle x'|\psi\rangle =\psi(x')$, мы получаем

$\int V(x')\delta(x-x') \psi(x') dx'=V(x)\psi(x)$