Линейность внутреннего произведения в обозначениях Дирака

Question

Линейность внутреннего произведения в обозначениях Дирака

Ник.25

Я начал изучать нотацию Дирака с заметок Массачусетского технологического института по QM. Во введении говорится, что нотация Дирака начинается с превращения внутренних продуктов из:

⟨ ты, в ⟩

$\langle{u}, v\rangle$ до, запятую заменяя чертой:

⟨ ты | в ⟩

$\langle{u}| v\rangle$ Тогда говорят, что мы разделяемся

⟨ u |

$\langle{u}|$ (бюстгальтеры) и

| v ⟩

$| v\rangle$ (кеты) как объекты сами по себе, так что, если рассматриваемое векторное пространство обозначить

V

$V$ ,

v \in V

$v \in V$ (в этих обозначениях) больше не имеет смысла, но вместо этого

| v ⟩ \in V

$| v\rangle \in V$ верно, так как теперь кеты теперь элементы пространства: буква внутри

| ⟩

$| \space \space\rangle$ это всего лишь метка, поэтому операции и т.п. должны выполняться с кетами как единым целым. Однако рассмотрим условие линейности для второго слота в скалярных произведениях:

⟨ ты, а_{1} в_{1} + а_{2} в_{2} ⟩ "=" а_{1} ⟨ ты, в_{1} ⟩ + а_{2} ⟨ ты, в_{2} ⟩

$\langle u, a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle = a_1 \langle u, v_1 \rangle + a_2 \langle u, v_2 \rangle$ Это имеет смысл, так как количество

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}

$a_1 v_1 + a_2 v_2$ является вектором, но

v_{1}

$v_1$ и

v_{2}

$v_2$ сами тоже являются векторами. Затем утверждается, что в нотации Дирака это переводится как:

⟨ ты | а_{1} в_{1} + а_{2} в_{2} ⟩ "=" а_{1} ⟨ ты | в_{1} ⟩ + а_{2} ⟨ ты | в_{2} ⟩

$\langle u| a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle = a_1 \langle u| v_1 \rangle + a_2 \langle u| v_2 \rangle$ Мне это кажется очень неправильным: теперь

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}

$a_1 v_1 +a_2 v_2$ уже не вектор, а

| a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} ⟩

$| a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle$ является. Поэтому говорить об этом даже не имеет смысла.

| v_{1} ⟩

$|v_1 \rangle$ является вектором, так как место наложения находится внутри метки кет. Итак, действительно ли это условие сформулировано правильно и я чего-то не понимаю, или есть другой способ правильно сформулировать такую аксиому?

Дж. Г.

То, с чем вы столкнулись, является примером этого , но это не так уж плохо.

Прахар

В конце концов, это всего лишь обозначения, поэтому, пока вы понимаете, что означает это обозначение, проблем не возникает. В вашем случае у нас есть

| a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} ⟩ = a_{1} | v_{1} ⟩ + a_{2} | v_{2} ⟩

$| a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle = a_1 | v_1 \rangle + a_2 | v_2 \rangle$ и

⟨ a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} | = a_{1}^{*} ⟨ v_{1} | + a_{2}^{*} ⟨ v_{2} |

$\langle a_1 v_1 + a_2 v_2 | = a_1^* \langle v_1 | + a_2^* \langle v_2 |$ .

Ответы (4)

Линейность внутреннего произведения в обозначениях Дирака

То, с чем вы столкнулись, является примером этого , но это не так уж плохо.
В конце концов, это всего лишь обозначения, поэтому, пока вы понимаете, что означает это обозначение, проблем не возникает. В вашем случае у нас есть $| a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle = a_1 | v_1 \rangle + a_2 | v_2 \rangle$ и $\langle a_1 v_1 + a_2 v_2 | = a_1^* \langle v_1 | + a_2^* \langle v_2 |$ .

Ричард Майерс · Answer 1

Как вы упомянули, ключ к нотации Дирака заключается в том, что вещь внутри бюстгальтера или кета является меткой , а не вектором в векторном пространстве. Я всегда говорю, что писать $|\psi\rangle\in V$ как элемент векторного пространства, в обозначениях, более распространенных в математике, $v_\psi\in V$ . Обратите внимание, что $\psi$ не является элементом векторного пространства. Это просто символ, который мы решили пометить вектором таким же образом, как мы могли бы прикреплять индексы к векторам, чтобы отслеживать их.

Имея это в виду, никогда не нужно применять какое-либо понятие линейности к символам «внутри» бюстгальтера или бюстгальтера, хотя вы часто будете видеть это небрежное обозначение, используемое в вводных источниках. Во всех таких случаях определением линейности в метке является линейность в векторе. Под этим я подразумеваю, что авторы склонны писать $|a\psi_1 + b\psi_2\rangle \equiv a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle$ . Опять же, это неаккуратная запись, и я рекомендую по возможности избегать ее: единственная причина писать $|a\psi_1+b\psi_2\rangle$ скорее, чем $a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle$ это лень (поскольку правильное написание часто требует дополнительного набора скобок).

То, что вы называете «ленью», другие могут назвать «ясностью». Зачем заставлять читателя разбирать дополнительный набор скобок, если эти скобки не служат никакой цели, кроме педантизма?
@ Никто, если бы это было действительно не более чем педантичность, то таких вопросов, как ОП, наверняка не существовало бы. Символы и операции должны иметь последовательное значение.
Я вообще не думаю, что это "наверняка". Нет настолько четких обозначений, чтобы не было кого-то, кого это смутило, и, насколько нам известно, источник, из которого работал ОП, просто плохо объяснил это использование. Символы и операции следует использовать таким образом, чтобы наиболее четко передать лежащие в их основе идеи, даже если это означает случайную легкую непоследовательность.

Дэйвид · Answer 2

Похоже, ваш вопрос по сути семантический, правильно ли его понимать

| а_{1} в_{1} + а_{2} в_{2} ⟩ \equiv а_{1} | в_{1} ⟩ + а_{2} | в_{2} ⟩

$|a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle \equiv a_1 |v_1 \rangle + a_2 |v_2 \rangle$ .

Для меня это не так, но кажется, что это уровень строгости обозначений, который часто используют физики. Например, мы можем обратиться к преобразованию Фурье $f(t)$ как $f(\omega)$ скорее, чем $\tilde{f}(\omega)$ и полагаться на аргумент, чтобы указать, что есть что. Это может вызвать некоторую путаницу, но также может оказаться удобным.

(Между прочим, я пытался убедить своего ученика прекратить использовать эту сомнительную нотацию. Она показалась ему интуитивной, но я думаю, что он готов от нее отказаться.)

Дж. Г. · Answer 3

Жаль, что заметки начинались с $u,\,v$ вместо $\phi,\,\psi$ . В последнем случае они могли бы тогда подчеркнуть, что $\sum_ia_i\psi_i$ , со скалярами $a_i$ (обратите внимание на римский символ) и векторы $\psi_i$ (обратите внимание на греческий символ) в формализме до (бракет) становится $\sum_ia_i|\psi_i\rangle$ в формализме скобок, где этот вектор также может быть записан как $\big|\sum_ia_i\psi_i\big\rangle$ . (Теоретически два цвета могли бы дать одно и то же.)

Это немного более общее отношение вектор-метка, которое признает и использует линейность кетов, не говоря уже об антилинейности бюстгальтеров и полуторной линейности внутренних продуктов, когда мы делаем то же самое с бюстгальтерами.

Как один из ответов на вопрос о злоупотреблении примечаниями , читатели-люди

способны использовать контекст, догадки и любую другую информацию при расшифровке того, что мы пишем/говорим. Как правило, гораздо эффективнее воспользоваться этим.

В этом случае это не было идеально использовано, но, надеюсь, теперь это ясно.

AccidentalTaylorРасширение · Answer 4

Обозначения, которые использует автор, делают это излишне запутанным. Следующие утверждения являются просто переименованием и указывают на то же самое. Слева направо это векторные обозначения, обозначения компонентов векторов и обозначения Дирака.

\begin{aligned} в & \leftrightarrow (\begin{matrix} в_{1} \\ в_{2} \end{matrix}) \leftrightarrow | в ⟩ \\ в^{†} & \leftrightarrow (\begin{matrix} в_{1}^{*} & в_{2}^{*} \end{matrix}) \leftrightarrow ⟨ в | \\ а ты + б в & \leftrightarrow (\begin{matrix} а {ты}_{1} + б в_{1} \\ а {ты}_{2} + б в_{2} \end{matrix}) \leftrightarrow а | ты ⟩ + б | в ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} v&\leftrightarrow\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\leftrightarrow|v\rangle\\ \\ v^\dagger&\leftrightarrow \begin{pmatrix}v_1^*&v_2^*\end{pmatrix}\leftrightarrow\langle v|\\ \\ a\, u+b\,v&\leftrightarrow \begin{pmatrix}au_1+bv_1\\au_2+bv_2\end{pmatrix}\leftrightarrow a|u\rangle+b|v\rangle \end{align}$ Здесь я использовал

u, v

$u,v$ вместо

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ во избежание путаницы с компонентами вектора. Таким образом, более явным способом написания оператора будет

⟨ ты | (а | в ⟩ + б | ш ⟩) "=" а ⟨ ты | в ⟩ + б ⟨ ты | ш ⟩

⟨ ты | а в + б ш ⟩ "=" а ⟨ ты | в ⟩ + б ⟨ ты | ш ⟩

$\langle u|av+bw\rangle=a\langle u|v\rangle+b\langle u|w\rangle$

Так стало понятнее, спасибо! Это сделало еще более запутанным то, что в самих примечаниях впоследствии упоминается, что для состояний положения вы не можете сказать |ax>=a|x>, так как первое представляет собственное состояние положения в "ax", а второе - состояние положения в «х» с амплитудой «а».
@ Nick.25 Понятно, я понимаю, почему они хотят ввести сокращенную запись, но кажется странным вводить ее так рано, когда вы просто хотите четко понять концепции

Линейность внутреннего произведения в обозначениях Дирака

Ник.25

Дж. Г.

Прахар

Ответы (4)

Ричард Майерс

Никто

Ричард Майерс

Никто

Дэйвид

Дж. Г.

AccidentalTaylorРасширение

Ник.25

AccidentalTaylorРасширение

Обозначение Дирака и представление столбца

Как функция, представленная в скобках, становится вектором, состоящим только из коэффициентов?

Визуализация nnn-мерных гильбертовых пространств

Неравенство Коши-Шварца в квантовой механике Шанхара

Задача с матрицами в обозначениях Дирака

При определении, нормализован ли кет-вектор, должен ли кет быть комплексно-сопряженным?

Значение ⟨qn|E⟩⟨qn|E⟩\langle q_n | E \rangle, когда EEE — это энергия, а qnqnq_n — нет.

Почему бы не просто комплексно-сопряженные бюстгальтеры и кеты вместо эрмитовых сопряженных?

Бесконечномерные векторные пространства против дуального пространства