Как гарантировать интегрируемые с квадратом решения уравнения Шредингера, не зависящего от времени?

РЕЗЮМЕ ОТРЕДАКТИРОВАННОЙ ВЕРСИИ: Вы не можете ставить какие-либо условия на$V(x)$и$E$которые гарантируют, что решения независимого от времени уравнения Шредингера нормализуемы по какой-то глупой причине.

---

Исходный, частичный ответ: если потенциал ограничен снизу некоторой величиной$V_\text{min}$, то решение стационарного уравнения Шредингера с$E \leq V_\text{min}$нельзя нормализовать. Доказательство: допустим$\psi(x)$- нормированная волновая функция, которая решает уравнение Шредингера с собственным значением$E$. Затем

$$E = \langle \psi | H | \psi \rangle = \int \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \left| \frac{d\psi}{dx} \right|^2 + V(x) |\psi|^2 \right] dx > \int V(x) |\psi|^2 dx \geq \int V_\text{min} |\psi|^2 dx = V_\text{min}.$$ У нас есть строгое равенство на третьем шаге, потому что $\psi$не может иметь везде нулевую производную и при этом быть интегрируемой с квадратом. (Обратите внимание, что этот результат также является проблемой в тексте Гриффитса с другим предложенным методом решения.)

РЕДАКТИРОВАТЬ:

На самом деле, я думаю, что невозможно наложить ограничения на$V(x)$и$E$которые гарантируют нормализуемое решение по следующей довольно глупой причине: если мы рассматриваем независимое от времени уравнение Шредингера как ОДУ, то для любого значения$E$есть два линейно независимых решения ОДУ второго порядка

$$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + \left[ V(x) - E \right] \psi = 0.$$ Таким образом, даже если одна интегрируемая с квадратом функция $\psi_1(x)$удовлетворяет этому уравнению, будет и другое линейно независимое решение $\psi_2(x)$которое также удовлетворяет уравнению, и это второе решение, вообще говоря, не будет интегрируемым с квадратом (см. ниже). Например, если вы попытаетесь решить приведенное выше ОДУ для гармонического осциллятора с помощью $E = \hbar \omega/2$, вы получите два решения, одно из которых имеет обычный $e^{-x^2/\sigma^2}$поведение (и, следовательно, интегрируемо с квадратом), а другое из которых выглядит как $e^{x^2/\sigma^2}$асимптотически и поэтому не интегрируема с квадратом.

Вы можете задаться вопросом, возможно ли, что оба$\psi_1(x)$и$\psi_2(x)$оба могут быть интегрируемыми с квадратом; но, к сожалению, это оказывается не так. Чтобы показать, что этого не может быть, мы можем использовать логику, подобную ответу Али Моха. Если ведущая асимптотика$V(x)$пропорциональна$x^\alpha$, а потенциал$V(x) \to \infty$как$x \to \infty$, то мы можем записать уравнение Шредингера асимптотически (после некоторого масштабирования) как

$$-\psi'' + (\beta x^\alpha - e) \psi = 0.$$ где $e$пропорциональна энергии и $\beta > 0$. Если $\alpha > 0$, то первый член в скобках будет доминировать, и тогда уравнение будет иметь приближенное решение (через Mathematica) $$\psi(x) = \left\{ \sqrt{x} I_{-1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right), \sqrt{x} I_{1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right) \right\}.$$ где $I_n(x)$представляет собой модифицированное уравнение Бесселя первого рода. Теперь, если у нас есть два решения $\psi_1$и $\psi_2$которые соответствуют одному и тому же значению $E$и оба интегрируемы с квадратом, то некоторая их линейная комбинация должна асимптотически вести себя как каждое из этих двух решений; но оба эти решения расходятся, и $\psi_1$и $\psi_2$оба должны асимптотически стремиться к нулю, чтобы быть интегрируемыми с квадратом. Следовательно, одно из решений $\psi_1$и $\psi_2$не должны быть интегрируемыми с квадратом. (Та же логика сохраняется, если $\beta < 0$; вместо этого мы просто получаем обычные функции Бесселя, которые по-прежнему не интегрируются с квадратом.)

Если, с другой стороны,$\alpha \leq 0$, то потенциал ограничен сверху, и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному Али Мохом. Опять же, общее решение ОДУ будет либо колебательным, либо экспоненциальным, и поэтому самое большее одно из линейно независимых решений зависящего от времени уравнения Шредингера будет нормализуемо.

---

Помимо этого, я не уверен, что именно можно сделать. Вы можете спросить: «Можем ли мы поставить условия на$V(x)$и$E$такое, что существует нормализуемое решение уравнения Шредингера ? " Но это в основном вопрос "Является ли$E$в спектре гамильтониана, когда гамильтониан действует только в пространстве нормализуемых волновых функций?» Другими словами, вы запрашиваете энергию собственных состояний и собственных значений, что мы обычно ищем в любом случае. Вы всегда можете использовать результаты вариационного принципа, чтобы наложить границы на спектры конкретных потенциалов, и есть хорошо известный результат, что по крайней мере одно связанное состояние ($E < 0$) существует для любого потенциала притяжения в 1D (и 2D). Но я скептически отношусь к тому, что существует более общий результат.

С$V(x)$ограничен сверху, у нас есть три возможности. Либо он колеблется на бесконечности с верхней границей, либо асимптотирует к константе$<E$или расходится на$-\infty$.

Поскольку нас интересует$x\rightarrow\infty$мы можем усреднить колебание в первом случае до среднего, а если оно расходится, то мы займемся ведущей высшей полиномиальной степенью (назовем ее$\alpha$, предполагая, что это асимптота как многочлен, который является достаточно общим). В результате поведение волновой функции на бесконечности носит колебательный характер; тригонометрическим для первых двух случаев, а в третьем случае как$x^{\frac{1-\alpha/2}{2+\alpha}}J_{\frac{1}{2+\alpha}}\left(\frac{2x^{1+\alpha/2}}{2+\alpha}\right)$что снова асимптотирует к колебательному незатухающему поведению.

Все три случая суммируются асимптотическим дифференциальным уравнением (где$\alpha=0$для первых двух случаев)

$$x\rightarrow\infty:\qquad \left(\frac{d^2}{dx^2} + \beta x^\alpha \right)\psi(x)=0$$

Дело в том, что во всех случаях осциллирующее незатухающее асимптотическое поведение волновой функции с необходимостью влечет за собой ее ненормируемость.