Использование разделения переменных для решения уравнения Шредингера для свободной частицы

Предположение о том, что отделимость и нормализуемость каким-то образом связаны, неверно. Можно прямо показать, что это неверно, потому что мы можем использовать анзац отделимости, использовать$\hat{H}\vert\psi\rangle=E\vert\psi\rangle$, и получить полный набор решений, и они согласуются с нашим анзацем отделимости. Таким образом, можно сказать, что успех процесса оправдывает анзац ингредиентов.

Теперь, подходя к вашему основному замешательству. Энергетическое собственное состояние свободной частицы с энергией$E$дан кем-то$e^{-iEt}(Ae^{ikx}+Be^{-ikx})$где$E=\frac{k^2}{2m}$. Вы можете проверить, что это решение действительно удовлетворяет уравнению Шредингера. Это не нормализуется, но вполне отделимо.

Наконец, следует отметить, что ненормируемые волновые функции действительно не могут описывать физическую частицу/систему. Однако они полезны, поскольку возникают как собственные функции операторов положения и импульса и образуют полную основу для всех нормируемых волновых функций. Таким образом, ненормируемые волновые функции сами по себе не живут в гильбертовом пространстве, но они обеспечивают основу для гильбертова пространства. Таким образом, решение уравнения Шредингера в этом базисе эквивалентно решению его для всех волновых функций.

Например, гауссовский волновой пакет вида$\psi(x,0)=Ae^{-x^2/\Delta}$можно рассматривать как линейную комбинацию$\psi(x,0)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{ipx}\tilde\psi(p)$где$\tilde\psi(p)$является преобразованием Фурье$\psi(x,0)$. Теперь мы можем тривиально вычислить$\psi(x,t)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{-ip^2t/2m}e^{ipx}\tilde\psi(p)$. Конечно, я просто упомянул волновую функцию Гаусса в качестве примера, те же формулы и процедуру можно использовать для любой исходной волновой функции.

Таким образом, это не действительное решение

Решение является математически верным, но его нельзя использовать для моделирования частицы с определенным (x,y,z,t) .

Но как это возможно, если мы уже знаем, что мы не можем использовать метод сепарабельных переменных для решения уравнения Шредингера

Если использовать другой$k$в решениях плоской волны есть много плоских волн, которые можно использовать для моделирования свободной частицы с помощью решения волновых уравнений волнового пакета, что придает квантово-механическую неопределенность импульсу частицы.

Это полезный подход к моделированию свободных частиц в квантовой механике, но, к счастью, он не нужен, когда существует потенциал, с которым взаимодействует частица. Там модель представляет собой прямое решение соответствующего уравнения с потенциалом, либо использование квантовой теории поля и диаграмм Фейнмана, позволяющих подгонять и предсказывать взаимодействия частиц.

Конечно, общий вектор состояния$\psi_t$нельзя записать в виде$\psi_t = f(t)\phi$для некоторого вектора$\phi$в гильбертовом пространстве. В$2$размеры, например, можно было бы иметь что-то вроде формы$\psi_t = \pmatrix{e^{i\omega t}\\ e^{-i\omega t}}$, которую нельзя записать в виде зависящей от времени скалярной функции, умножающей постоянный вектор.

Однако, если вы выбираете фиксированную основу$\{\phi_n\}$, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации$\sum_n c_n \phi_n$. В частности, в каждый момент времени вектор состояния может быть выражен таким образом, причем коэффициенты меняются от момента к моменту. В результате тот факт, что зависящий от времени вектор состояния может быть выражен как$\psi_t = \sum_n c_n(t) \phi_n$по существу тривиальное утверждение - в конце концов,$\phi_n$являются основой для каждого$t$- и отделимость, как вы ее определяете, перестает быть проблемой. Выбор основы$\{\phi_n\}$быть собственными значениями гамильтониана, делает решение уравнения Шредингера столь же тривиальным, что дает$c_n(t) = c_n(0) e^{-iE_n t/\hbar}$.

Когда спектр гамильтониана дискретен, гарантируется существование ортонормированного базиса собственных векторов энергии, и поэтому вышеупомянутая процедура совершенно четко определена. Однако, когда спектр непрерывен , это уже не так, как в этом случае$H$ не имеет собственных векторов. В нашем вводном курсе мы узнаем, что если забыть о требованиях нормализуемости, то существуют функции$\phi_k$которые ведут себя как собственные векторы; кроме того, мы можем разложить настоящие, нормализуемые состояния как интегральные суперпозиции.

$$\psi_t = \int c_k(t) \phi_k\mathrm dk$$

Конечно, эта процедура прекрасно работает, но может возникнуть вопрос, как мы можем ее оправдать. По сути, есть два строгих пути, по которым можно пойти: один разработан Джоном фон Нейманом, а другой — Исраэлем Гельфандом. Подход Гельфанда представляет собой формализацию эвристической процедуры Дирака, но его подробное техническое обсуждение требует разработки довольно большого дополнительного комплекса механизмов за пределами самого гильбертова пространства; в результате я сосредоточусь здесь на обосновании процедуры «обобщенного собственного вектора» через технически более простую призму фон Неймана.

---

В этом подходе$^{1}$, возьмем в качестве нашего гильбертова пространства$\mathscr H := L^2(\mathbb R)$. Наш гамильтониан$H$с доменом$\mathrm{dom}(H)$дан кем-то

$$\mathrm{dom}(H):= \{\psi\in L^2(\mathbb R) \ : \ \psi \text{ is twice weakly-differentiable and }\psi''\in L^2(\mathbb R)\}$$ $$\big(H\psi\big)(x) := -\frac{1}{2}\psi''(x)$$

Эта область также называется пространством Соболева.$W^{2,2}(\mathbb R)$.$H$является самосопряженным и имеет чисто непрерывный спектр, определяемый выражением$\sigma(H) = [0,\infty)$. Последний факт означает, что у него нет собственных функций, т. е. нет элементов$\psi\in \mathrm{dom}(H)$которые удовлетворяют$H\psi = \lambda \psi$для некоторых$\lambda\in \mathbb C$. Однако из его самосопряженности следует существование унитарного оператора$U$такой, что$\widehat H = U^\dagger H U$является$\mathbb R$-оператор умножения, где оператор умножения$M$один такой, что$\big(M\psi\big)(x) = m(x) \psi(x)$для некоторой функции$m$; это одно из трех эквивалентных утверждений спектральной теоремы для самосопряженных операторов .$^{2}$

В этом случае мы можем позволить$U$быть оператором Фурье

$$\big(U\psi\big)(k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \psi(x) e^{-ikx} \mathrm dx$$ Нетрудно увидеть, что $$\big(\widehat H f\big)(k) = \frac{k^2}{2} f(k)$$ и так при любом$\psi\in \mathrm{dom}(H)$, мы можем эквивалентно написать $$\big(H\psi\big)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \frac{k^2}{2} \tilde\psi(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ где$\tilde \psi \equiv U\psi$является преобразованием Фурье$\psi$. Через независимый от времени пропагатор временная эволюция определяется выражением

$$\psi_t = e^{-iHt}\psi_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ который получается непосредственно путем возведения в степень оператора умножения, то есть, если$\big(M\psi\big)(x) = m(x)\psi(x)$, затем$\big(e^M\psi\big)(x) = e^{m(x)}\psi(x)$. Эквивалентно, уравнение Шредингера дает $$i\frac{d}{dt}\psi_t = H\psi_t \iff i\frac{d}{dt}\tilde\psi_t=\frac{k^2}{2}\tilde \psi_t$$ $$\implies \tilde\psi_t(k) = e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k)$$

---

Дело в том, что$U$в данном случае дается оператором Фурье, должно быть понятно всякому, имеющему опыт анализа Фурье. Однако для общего гамильтониана Шредингера$H:= -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$это не такая тривиальная проблема, которую нужно решить. Правильная процедура состоит в том, чтобы постулировать, что

$$\big(U\psi\big)(k) = \int_{\mathbb R} \psi(x) \phi_k(x) \mathrm dx$$ для некоторых$\phi_k(x)$. Дело в том, что$U$должно быть унитарным, подразумевает с помощью нескольких строк алгебры, что $$\int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_q(x) \mathrm dx = \delta(k-q) \qquad \int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_k(y) \mathrm dk = \delta(x-y) \quad (\star)$$ Еще раз определяя$\widehat H = UHU^\dagger$(который через анзац является оператором умножения) и$\tilde \psi = U\psi$, тогда мы имеем $$\big(\widehat H \tilde \psi\big)(k) = E(k) \tilde \psi(k) = \int_{\mathbb R} \big[-\frac{1}{2}\psi''(x) + V(x)\psi(x)\big]\phi_k(x)\mathrm dx$$

Это должно выполняться для произвольного$\psi\in\mathrm{dom}(H)$; интегрирование по частям говорит нам, что

$$-\frac{1}{2}\phi_k''(x) + V(x) \phi_k(x) = E(k) \phi_k(x)$$

Решая это дифференциальное уравнение с учетом$\delta$-условия нормализации и ортогональности$(\star)$обеспечивает правильную форму для$\phi_k$, и поэтому$U$. В случае свободной частицы мы находим, что совершенно хороший выбор дается выражением$\phi_k(x) = e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$с$k\in\mathbb R$. Однако принципиально эти$\phi_k$не являются элементами$L^2(\mathbb R)$в общем.

Эта процедура объясняется$^3$подробно во многих местах физической литературы. Однако унитарное преобразование$\psi(x) = \big(U^\dagger f\big)(x) = \int_{\mathbb R} f(k) \overline{\phi_k(x)} \mathrm dk$обычно описывается как расширение$\psi(x)$в непрерывном (обобщенном) собственном базисе$\{\overline{\phi_k}\}$. Это обеспечивает интуицию для того, какое физическое значение$\phi_k$, должны выполняться, но необходимо быстро прояснить, что они не составляют допустимых физических состояний, которые система может занимать.$^\ddagger$.

---

Напомним, что самосопряженные операторы с чисто непрерывным спектром не имеют собственных функций. Однако они унитарно эквивалентны операторам умножения, и поэтому их довольно легко понять. Чтобы найти правильное унитарное преобразование, мы обнаруживаем, что решаем дифференциальное уравнение, которое выглядит точно так же, как уравнение на собственные значения, связанное с гамильтонианом, за исключением того факта, что (i) собственные значения образуют континуум, а не дискретное множество, и (ii) "собственные функции"$\phi_k$не принуждают жить в$L^2(\mathbb R)$. Мы часто называем$\phi_k$обобщенные или ненормализуемые собственные состояния .

Для полноты подход Гельфанда называется формализмом оснащенного гильбертова пространства.$^4$в котором эти$\phi_k$понимаются как (ядра) распределений по подходящему пространству пробных функций; это описание требует значительно большего количества оборудования (ядерные пространства, теория распределения и т. д.), чтобы сделать его технически строгим. Таким образом, это чем-то похоже на использование гипердействительной системы счисления для формализации бесконечно малых величин в исчислении — более простое и несколько более интуитивное на первый взгляд, но не настолько простое на техническом уровне.

---

$^\ddagger$Есть несколько способов определить квантовое состояние, но минимальное требование состоит в том, чтобы они давали начало распределению вероятностей для любого возможного измерения; то есть они должны каким-то образом ответить на вопрос: «Какова вероятность того, что я измерю (самосопряженную) наблюдаемую$A$лежать в (измеримом по Борелю) множестве$E\subseteq \mathbb R$?» Один из способов определить такое распределение вероятностей — через лучи в гильбертовом пространстве, лежащие в основе теории, в то время как более общий способ обеспечивается операторами положительного следа с единичным следом; для еще более амбициозных математических задач это можно обобщить. даже дальше .Однако после небольшой работы становится ясно, что полученные здесь обобщенные собственные состояния не попадают ни в одну из этих категорий.В качестве конкретного примера полностью делокализованная плоская волна не дает ответа на вопрос, «что такое вероятность измерения положения частицы в интервале$E$?», который удовлетворяет требованиям, которые мы предъявляем к распределениям вероятностей.

Использованная литература:

[1] Холл, Квантовая теория для математиков.

[2] Полный обзор спектральной теории и математически строгих основ квантовой механики см. в Spectral Theory and Quantum Mechanics Вальтера Моретти из PhysicsSE .

[3] См., например, стр. 15 Ландау и Лифшица, Курс теоретической физики, Том. III: Квантовая механика

[4] А. Бом, М. Гаделла, Дирак Кетс, Гамовские векторы и триплеты Гельфанда , Раздел IV.

В этом вопросе и в книге Гриффита есть гораздо более серьезный концептуальный вопрос, который необходимо рассмотреть.

Это утверждение о том, что решения собственных функций (непрерывного спектра) свободной частицы не имеют физической интерпретации.

Это утверждение (Гриффитса и в других ответах) о непрерывном спектре, к сожалению, является очень распространенным недоразумением - в частности, утверждение Гриффита состоит в том, что (ссылка [2], раздел 2.4)

Таким образом, в случае свободной частицы сепарабельные решения не представляют собой физически реализуемых состояний. Свободная частица не может существовать в стационарном состоянии, или, другими словами, не существует такой вещи, как свободная частица с определенная энергия.

Позже, в главе о рассеянии, это убеждение фактически вынуждает его сказать в сноске об общем решении уравнения Шрёдингера:

На данный момент в этом мало квантовой механики : на самом деле мы говорим о рассеянии волн, а не о классических частицах...

Это его способ уклониться от того факта, что он использовал единственную плоскую волну для моделирования налетающей свободной частицы с полностью определенным импульсом и заставлял ее рассеиваться от рассеивающего центра. Называя их плоскими волнами и говоря, что мы просто изучаем рассеяние волн, это каким-то образом означает, что это применимо к проблеме рассеяния квантовой частицы, но не моделирует свободную частицу одной плоской волной. Это совершенно непоследовательно.

Если воспринимать его всерьез, поскольку его утверждения об установлении общего решения можно обосновать с помощью борновского приближения к интегральному решению уравнения Шредингера, он странным образом пытается сказать, что установление борновского приближения к общему решению не требует большого количества квантовой механики, это все просто машет рукой... Конечно, он и никто другой на самом деле не верит в это, но это должно насторожить любого, кто мыслит квантово-механически.

Есть так много проблем с этим убеждением, что мне придется разбить свой ответ на три части, указывая на то, насколько это проблематично.

A: Противоречие литературе

По крайней мере, эти утверждения полностью противоречат утверждениям самого Борна, «основателя» «правила Борна», когда он придумал это правило при изучении проблемы столкновений с непрерывным спектром в [7]. Он очень ясно говорит: «Нет выхода из вывода», что падающая свободная частица, которую он рассеивает на атоме, описывается «определенным состоянием» вдоль прямой линии, «которая соответствует плоской волне», и использует падающую плоскость. волна вдоль$z$-ось для описания его "состояния" (т.е. волновой функции). Можно просто списать это на старость, хорошо.

Что еще более важно, это также полностью противоречит утверждениям абсолютно канонического справочника [1], воспринимаемому крайне серьезно даже критиками [10], в котором собственные функции свободной частицы прямо называются, например, волновой функцией частицы ( [1], раздел 17 или раздел 34, например). Точно так же Дирак ([5], раздел 30) буквально использует собственную функцию одной свободной частицы, чтобы проиллюстрировать «пригодность» терминов «волновая функция» и «волновое уравнение». Другим известным автором, прямо утверждающим, что собственная функция одной свободной частицы имеет «физический смысл», является Крамерс в [6, § 22].

Таким образом, чтобы поверить в это, нужно начать верить в то, что большинство основателей КМ сами ошибались в самой основной проблеме КМ, и заявлять, что их физическая интерпретация ненормируемости (приведенная ниже) также неверна.

Даже если все они ошибаются в отношении такой простой проблемы, как свободная частица, тот факт, что (некоторые из наиболее) канонических учебников утверждают, что физическая интерпретация чего-то столь простого и фундаментального на самом деле существует, должен серьезно задуматься над тем, кто делает подобные заявления. Даже признание существования такой альтернативной точки зрения должно быть, по крайней мере, лакмусовой бумажкой того, получает ли человек честное изложение ситуации.

Учитывая, насколько глубоко укоренилось это убеждение, полезно процитировать (хороший) учебник ([8], раздел 2.3), который честно указывает на описанную в литературе ситуацию, согласно которой решение сдаться является лишь одним из двух возможных вариантов. серьезно относиться к волновым функциям непрерывного спектра, но не к единственному выбору:

Есть два выхода из этого затруднения. Во-первых, отказаться от концепции абсолютных вероятностей при работе с волновыми функциями, такими как (2.13) или (2.16), которые не интегрируются с квадратом. Вместо,$|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 d \mathbf{r}$тогда интерпретируется как относительная вероятность нахождения частицы в момент времени t в элементе объема$d\mathbf{r}$вокруг$\mathbf{r}$, так что отношение$|\Psi(\mathbf{r}_1, t)|^2/|\Psi(\mathbf{r}_2, t)|^2$дает вероятность найти частицу внутри элемента объема с центром вокруг$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1$, по сравнению с нахождением его в том же элементе объема в точке$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2$...

Это, конечно, то, что Дирак, Ландау и т. д. делают, что обычно считается невозможным. Поняв, что это означает, что положение частицы совершенно неизвестно (основное следствие принципа неопределенности), они говорят:

Это предлагает второй выход из затруднения, который состоит в том, чтобы отказаться от требования, чтобы свободная частица имела точно определенный импульс, и наложить плоские волны, соответствующие различным импульсам, чтобы сформировать локализованный волновой пакет, который можно нормировать к единице .

Хотя именно этот второй подход люди, кажется, предпочитают, и есть веские причины использовать его в качестве аппроксимации [на самом деле, использование волновых пакетов на самом деле является классическим инструментом аппроксимации ([1], раздел 6), поэтому люди конечно действительнопросто прокрадывая самую слабую классическую интуицию, возможную с этим приближением], это, конечно, отрицание/рационализация-отсутствие совершенно естественного следствия теории из-за предвзятости к более простому случаю (дискретному спектру), чтобы слепо перенести на более сложный случай . Нет никакой разницы между этим и смещением для дискретного случая в классической дискретной и непрерывной теории вероятностей. Классическая интерпретация дискретного распределения вероятностей в одной (или дискретном наборе) точек сама по себе не переносится слепо и на непрерывное распределение, но мы не просто притворяемся, что она здесь бессмысленна (т.е. «нефизична»).

Таким образом, нет проблем с принятием второго подхода в качестве приближения .

В самом деле, Дирак ([5], § 12) говорит об этом: он говорит, что, хотя в непрерывном спектре можно обнаружить бесконечные нормальные состояния, потребуется бесконечная точность, чтобы на самом деле точно экспериментально реализовать состояние непрерывного спектра, т. е. говоря, что хотя они и есть, мы не можем достичь бесконечной точности, поэтому бесконечная норма не должна нас слишком беспокоить. Затем он предполагает, что, возможно, только состояния с конечной нормой могут быть реализованы экспериментально (из-за того, что потенциально не требуется бесконечная точность). Но он имеет в виду именно это в связи с действительно точно экспериментальной реализацией таких состояний, а не в том, что их нет как фундаментальной необходимости теории. Он даже говорит, что мы не могли обойтись без них,

Другими словами (теперь мой, а не его), он, по сути, говорит, что если вы считаете нормальным просто отбросить бесконечные нормальные состояния из-за того, что они не реализуемы экспериментально, то вам также следует отбросить всю науку. Классическая механика например говорит, что положение и скорость частицы одновременно в принципе познаваемы теоретически (в отличие от квантовой механики), теория вообще ничего не говорит об обратном, это просто фундаментальное утверждение всей классической механики, что это можно в принципе. Очевидно, что экспериментально это невозможно с бесконечной точностью, но это не означает, что мы отбрасываем всю классическую физику.

Что еще более важно, Дирак на самом деле дает физическую интерпретацию бесконечных нормальных состояний позже (см. норма гласит.

В примечании к первоначальному обсуждению свободной частицы фон Нейманом ([9], раздел II.8, иногда считающимся основоположником того, что обычно называют строгим подходом ) о свободной частице он говорит, что волновая функция

... не принадлежит$\mathbb{R}_{\infty}$из-за неограниченности интеграла от квадрата его модуля. С нашей точки зрения... то, что не принадлежит$\mathbb{R}_{\infty}$для нас не существует.

и в сноске, приложенной к этому, добавляет:

Конечно, только успех в физическом приложении может оправдать эту точку зрения или ее использование в квантовой механике.

Таким образом, даже фон Нейман осознавал, что этот подход рискует оказаться просто неверным. Если кто-то хочет утверждать, что этот подход является правильным подходом на фундаментальном уровне, то, что вы можете видеть из приведенных выше цитат, даже не согласовано в литературе, они должны не только игнорировать вышеприведенные физические интерпретации, данные выше Дираком, Ландау и т. д., но также должны убедительно ответить на все гигантские концептуальные проблемы с этим подходом, упомянутым в следующем разделе (конечно, их больше).

Итак, несмотря на то, что можно использовать волновые пакеты (или собственные дифференциалы и т. д.) в качестве приближения, с точки зрения абсолютно фундаментальной природы квантовой механики как теории : есть просто гигантские логические проблемы со слишком серьезным отношением ко второму подходу (который это именно то, что делается), это так же абсурдно, как делать вид, что классическая механика теоретически просто говорит нам, что положение/скорость частицы существует одновременно только с точностью до данного измерения, а не теоретически существует где-то в принципе. Но теория должна временами внутренне не иметь смысла, если мы примем этот подход, если это так. Давайте посмотрим это дальше:

B: Теоретические противоречия

Давайте посмотрим на логические проблемы, связанные с утверждением, что собственные функции с непрерывным спектром не являются физическими.

Это утверждение о том, что собственная функция непрерывного спектра не является физической, подразумевает, например, что волновые функции атома водорода, который имеет как непрерывный, так и дискретный спектр и построен из волновых функций дискретного и непрерывного спектра, построены из физических собственных функций на некоторых из спектр (на дискретном спектре) и нефизические собственные функции на остальной его части (непрерывный спектр). Это еще более абсурдно, чем добавление фермионов и бозонов, в данном случае это добавление «физического» и «нефизического». Таким образом, отдельные «состояния рассеяния» в общем разложении волновой функции атома водорода по какой-то причине «нефизичны», хотя член связанного состояния дискретного спектра в точно таком же разложении является физическим.

Другим чрезвычайно важным примером является Золотое правило Ферми, примененное к непрерывному спектру, например квантовое рассеяние, которое является проблемой непрерывного спектра. Именно потому, что исходные волновые функции находятся в непрерывном спектре, наивная «вероятность перехода»$dw$в золотом правиле Ферми не имеет правильной размерности вероятности в единицу времени, «вероятность перехода» теперь имеет размерность, которая зависит ([1], § 43) от нормализации исходной нормализации волновой функции непрерывного спектра (что сделало бы никакого смысла, если бы мы считали, что их нельзя даже нормализовать...). Если начальные волновые функции непрерывного спектра нормированы как «одна частица на объем$V$', это ясное объяснение того, почему мы должны взять "вероятность перехода" в КТП и превратить ее в "скорость затухания" или "сечение", чтобы получить измеримые результаты.

Хуже того, в КТП использование собственных функций одной свободной частицы в качестве волновой функции свободных частиц в процессе рассеяния абсолютно необходимо, а их свойства нормализации непрерывного спектра жизненно важны при решении любой задачи КТП- рассеяния . Приходится верить, что любая qft-задача, в которой падающая свободная частица имеет (теоретически) точно известный импульс, так что она описывается стационарным состоянием одной свободной частицы, является (теоретически) нефизической, как будто это имеет какой-то смысл.

Эти факты не исчезают только потому, что используется вторичное квантование и квантовые поля, вторичное квантование может быть «определено» в первую очередь исходя из использования собственных функций для системы идентичных частиц, см., например, ([1] гл. IX) .

Кроме того, в КТП обычно используют нормировку ящика для конечной области [так что собственные функции «свободной частицы» теперь являются волновыми функциями дискретного спектра, и мы можем нормализовать до «одна частица на объем».$V$' с небольшими размышлениями, хотя мы можем сделать это и в непрерывном спектре (см. [1], § 15 и 48)], поэтому мы можем упростить задачу, но мы все равно берем ограничение в конце вычисления , они не вдруг становятся нефизическими в этом пределе. Другими словами, проблема нормализации Золотого правила Ферми, упомянутая выше, всегда присутствует в задаче рассеяния КТП, независимо от того, делаем ли мы это в конце или в начале.

Другими словами, на самом деле нужно верить, что, например,$\frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}$коэффициенты нормализации в Клейне-Гордоне и т. д. ... все это просто удобные математические приемы, которые все волшебным образом работают, и просто игнорируют, почему отдельные собственные функции плоской волны «свободной частицы» с непрерывным спектром даже имеют такие коэффициенты нормализации, как будто это все просто счастливый случай. Обычный способ игнорировать все физические рассуждения здесь состоит в том, чтобы притвориться, что мы добавляем коэффициенты нормализации к ненормализуемым «волновым функциям», которые являются «нефизическими», потому что нам просто нужен релятивистски инвариантный элемент объема, но это равносильно конкретному выбору. коэффициентов нормализации с вышеуказанной точки зрения, и это даже не так часто делается, потому что это делает настройку скорости распада (непрерывного спектра), поперечных сечений и т. д. менее интуитивно понятной, чем «одна частица на объем».$V$'подход к нормализации.

Даже в нерелятивистской задаче рассеяния теперь приходится верить: а) свободная частица с точно известными импульсами (таким образом описываемая индивидуальным решением плоской волны) становится нефизической; б) разложение нефизической плоской волны на угловой момент этой плоской волны, что абсолютно необходимо при рассеянии, когда мы берем, например, единственную влетающую свободную частицу$e^{ikz}$в обычных задачах рассеяния все просто нефизично; в) на смену реальному квантово-механическому мышлению должны прийти аргументы, опирающиеся на классическое мышление о рассеянии классических волн; г) любые концептуальные вопросы можно просто рационализировать как «математику». Это только начало так называемого строгого подхода.

Другим очень основным аспектом КМ, который полностью терпит неудачу, если отдельные собственные функции непрерывного спектра нерелятивистских свободных частиц не являются волновыми функциями, является существование «дискретного спектра» для$E < 0$стационарные состояния частицы в потенциале$U$что исчезает на бесконечности. Набросая доказательство в [1], если одно отдельное стационарное состояние в таком потенциале уходит в бесконечность, то абсолютно ничто не мешает им достичь бесконечности в принципе вообще, на самом деле потенциал, исчезающий при уходе в бесконечность, может сделать его тем больше вероятность того, что частица уйдет в бесконечность, чем дальше она уходит. Но почему же они не достигают бесконечности, а остаются в конечной области (так что спектр оказывается дискретным, несмотря на возможность ухода в бесконечность)? Именно потому, что если бы такое стационарное состояние ушло на бесконечность, то оно свело бы тогда к стационарному состоянию одиночной свободной частицы, а когда можно точно узнать энергию одиночной свободной частицы, то это и значит.$E = \mathbf{p}^2/2m$. Но это всегда положительно/неотрицательно, хотя мы предполагали, что$E < 0$держал. Таким образом, мы получаем неизбежное противоречие, если только частица не является связанной и поэтому волновая функция просто никогда не сводится к функции свободной частицы ([1], § 18), или бессмысленно, когда единственное стационарное состояние с единственным собственным значением энергии , сводится к случаю свободной частицы, когда потенциал стремится к нулю, физика просто останавливается, и стационарное состояние нелогично просто перестает применяться к системе, или в лучшем случае волшебным образом внезапно превращается в интеграл стационарных состояний свободной частицы, хотя мы работали с одним стационарным состоянием, собственное значение которого было точно известно по предположению по какой-то необъяснимой причине.

На самом деле, если мы не примем, что волновые функции с непрерывным спектром на самом деле являются волновыми функциями, то квантовая механика даже не существует в случае с непрерывным спектром, таким образом, рассеяние и т. д. исчезнет, ​​поскольку волновая функция системы не даже существует в принципе . Как поясняется в моем ответе здесь , который опять-таки просто обобщает каноническую интерпретацию процесса измерения КМ, как описано в [1], это в принципе невозможно.даже определить волновую функцию физической системы, если только абстрактное разложение Фурье комбинированного «измерительного прибора + квантовой системы» не «схлопнется» до одной отдельной собственной функции из-за классической природы измерительного прибора. Если измерительный прибор находится в непрерывном спектре, то это означает, что волновая функция неизбежно «схлопывается» до одной собственной функции непрерывного спектра. В действительности «коллапс» никогда не происходит, волновая функция все время представляла собой один член Фурье, т. е. полная волновая функция после измерения включает два члена, одинсобственная функция прибора для измерения непрерывного спектра и второй член произведения, относящийся к волновой функции системы, которая была измерена после измерения. Если мы примем убеждение, что собственные функции непрерывного спектра не являются волновыми функциями, то мы должны поверить, что классический измерительный аппарат (когда измеренное собственное значение известно с полной уверенностью, в противном случае теоретически возможна даже волновая функция системы в принципе никогда не может быть даже известен, и у нас нет теории) точно описывается «волновой функцией», которая не является «волновой функцией», просто не имеет абсолютно никакого смысла.

На еще более примитивном уровне причина, по которой отдельные собственные функции должны быть потенциальными волновыми функциями потенциальной физической системы, заключается в том, что, исходя из фундаментальной концепции « принципа суперпозиции », мы не можем даже определить «полную волновую функцию». функция' системы (линейная комбинация стационарных состояний), если только система не описывается отдельными собственными функциями, представляющими возможные физические состояния. Вещи, которые мы суммируем вместе, чтобы получить полную волновую функцию системы в принципедолжны сами быть потенциальными волновыми функциями для возможного состояния этой системы, иначе они даже не допускаются к сумме. Это просто совершенно бессмысленно, если собственные функции «нефизичны» — нечего «суммировать» по принципу суперпозиции, чтобы вообще начать строить полную волновую функцию системы непрерывного спектра.

Чтобы подчеркнуть это еще раз: прочтите ([1], разделы 2 и 5), а затем скажите мне, почему нам вообще позволено иметь непрерывный спектр где угодно в физике, если «собственные функции» на самом деле не представляют возможное физическое состояние. системы - именно потому, что каждая собственная функция является потенциальным состоянием системы, мы можем затем использовать принцип суперпозиции, чтобы сложить их вместе, чтобы получить полную волновую функцию. Это просто противоречит принципу суперпозиции (как описано в [1]), чтобы сказать, что ($\hbar = 1$) решения собственных функций$e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - Et)}$уравнения Шредингера для свободных частиц не являются физическими.

Другими словами, именно из-за правила Борна и принципа суперпозиции волновые функции непрерывного спектра необходимо нормализовать по отношению к дельта-функциям и интерпретировать как «физические волновые функции» потенциальной системы. Если бы мы не могли этого сделать, то даже волновая функция системы не существовала бы, потому что, когда какой-то измерительный прибор имеет непрерывный спектр, единственный способ, которым мы можем даже зафиксировать волновую функцию системы после измерения, — это вызвать тот факт, что одинСобственное состояние этого измерительного устройства с непрерывным спектром (квазиклассическая) волновая функция описывает состояние измерительного устройства после измерения. Этот последний пункт — именно то, откуда мы знаем, что система после измерения имеет новую волновую функцию и что она отличается от той, что была до измерения. В противном случае мы должны были бы просто бессвязно сказать, что волновая функция, описывающая измерительный прибор, «коллапсирует» до «нефизической» собственной функции, которая описывает систему, но также не описывает ее, и волшебным образом мы можем просто вывести из ниоткуда, что система, которую мы измеряли, также получает новую волновую функцию, отличную от той, что была до измерения, это просто абсурдно.

C: Противоречие хорошо известной физической интерпретации

Теперь позвольте мне отметить физическую интерпретацию ненормируемых собственных функций свободных частиц.

Это дано в ссылке ([1] Sec. 10), например: ненормируемость собственной функции свободной частицы как раз соответствует и существенно зависит от того факта, что в неограниченной области система может проводить время на «бесконечности» , т. е. может иметь место «бесконечное движение», что, очевидно, не может происходить в ограниченной области, и ненормируемость является абсолютной необходимостью, чтобы иметь возможность дать эту физическую интерпретацию.

Набросок аргумента в [1]: интеграл$\int dq |\Psi(q)|^2$расходится для стационарного состояния, потому что$|\Psi(q)|^2$(в данном случае) не обращается в нуль на бесконечности. Другими словами, плотность вероятности в точке на бесконечности не обращается в нуль, поэтому частица, представленная этим стационарным состоянием, потенциально может быть найдена в этой точке на бесконечности, если интерпретация вероятности должна иметь смысл. Если мы теперь примем положение$q$известно или, скорее, известно в среднем, теперь мы должны допустить, что собственное значение, связанное с этим местоположением, неизвестно, и поэтому мы должны взять линейную комбинацию стационарных состояний в непрерывном спектре в этой точке,$\Psi(q) = \int dE a_E e^{-iE t} \psi_E(q)$. Мы можем интерпретировать собственные функции непрерывного спектра в этой точке в среднем (по времени) путем возведения в квадрат$|\Psi(q)|^2 = \int dE dE' a_E a_{E'}^* e^{-it(E - E')} \psi_E(q) \psi_{E'}^*(q)$а затем усреднение по времени. Поскольку в случае непрерывного спектра он включает дельта-функцию Дирака, среднее время, следовательно, будет стремиться к нулю (в случае дискретного спектра оно вместо этого остается конечным). Таким образом, средняя по времени плотность вероятности в любой точке равна нулю только в случае непрерывного спектра, т. е. средняя плотность вероятности обнаружения частицы в любой точке равна нулю. Это имеет смысл только в том случае, если частица существует в бесконечной области.

Но что это? Физическая интерпретация ненормируемых собственных функций, которая напрямую связана с ненормируемостью? Это должно быть невозможно...

Другими словами, только потому, что частица может проводить время в бесконечности в бесконечной области, это ничего не меняет в том факте, что квантово-механические волновые функции должны по-прежнему быть в состоянии описать тот факт, что они могут это делать, т. е. что свободная частица в неограниченной области может быть найдена на бесконечности. Утверждать, что КМ не может описать это, значит искусственно ограничивать возможности КМ из-за собственной предвзятости в отношении дискретных спектров вероятностей и игнорировать урок о разнице между «классической» дискретной и непрерывной теорией распределения вероятностей, которую необходимо учитывать в последнем случае. относиться бережно, а не просто выбрасывать.

На самом деле нужно отрицать принцип неопределенности Гейзенберга , чтобы утверждать обратное. Напомним, что HUP говорит нам, что если мы точно знаем импульс, то положение совершенно неизвестно, другими словами, нет причин , по которым свободная частица не могла бы находиться «на бесконечности».

На самом деле приходится утверждать, что квантовая механика не способна сказать, что свободная частица с точно известными импульсами потенциально может быть найдена на бесконечности с помощью волновой функции, хотя это именно то, что, согласно HUP, должно произойти.

В самом деле, даже Дирак ([5], § 48) также очень ясно дает эту физическую интерпретацию, после аргументации в предложении усредненного по времени аргумента выше, что частица в неограниченной области «проводит почти все свое время на бесконечности», а затем показывает насколько важно , чтобы норма расходилась в этом случае, чтобы интерпретация относительной вероятности имела смысл, согласуясь с рассуждениями в ([1], § 2 и 10) и цитатой из [8], упомянутой ранее.

Д: Другие комментарии

Тот факт, что люди неверно истолковывают это, не так уж отличается от того факта, что дискретная теория распределения вероятностей немного отличается от теории непрерывного распределения вероятностей, при этом для полной аксиоматизации основных принципов последней потребовалось более века, интуиция просто теряется при переходе к В последнем случае точно такая же потеря интуиции имеет место и в квантовом случае. Для классического непрерывного распределения вероятностей вероятность одного значения равна нулю. Это не означает, что единственный результат в классическом вероятностном эксперименте не является «реальным/физическим».

Просто неудивительно, что в квантовой механике наивное использование правила Борна также «ломается» для одного/дискретного набора собственных значений, когда существует непрерывный спектр, и только в этом случае нам нужно быть более осторожными. Это ни в коем случае не означает, что мы должны отрицать совершенно очевидный факт, что нечто настолько простое, как отдельная свободная частица, энергия которой в принципе может быть точно известна (и, следовательно, положение не может быть) известно, существует и должно быть описано квантовой механикой.

На математическом уровне считается, что «оснащенные гильбертовы пространства» являются естественной областью, где «волновые функции с непрерывным спектром» могут быть законно названы волновыми функциями [3], потому что это пространства, в которых дельта-функции могут рассматриваться должным образом. Действительно ли это правильное пространство, где можно использовать очевидные физические интерпретации, набросанные выше, — это другой вопрос, я не уверен. Например, [4] говорит о оснащенном гильбертовом пространстве:

«Это позволяет разместить векторы бесконечной нормы в рамках формализма и устраняет неопределенность, которая часто окружает вопрос, обладают ли операторы, представляющие наблюдаемые, полным набором собственных векторов (из предисловия);

Этих двух примеров достаточно, чтобы показать, что оснащенное гильбертовым пространство кажется более естественной математической оболочкой для квантовой механики, чем гильбертово пространство (стр. 29)».

Наконец: если мы признаем, что очевидные собственные функции свободных частиц являются физическими, это означает, что мы должны признать, что приверженность «сепарабельным гильбертовым пространствам» на самом деле отрицает физические свойства систем, подобных тому, что свободная частица с точно известными импульсами может быть найдена очевидно (' проводить время в') в бесконечности (как описано выше). Преданность сепарабельным гильбертовым пространствам широко использовалась в качестве возражения против петлевой квантовой гравитации.. Ясно, по крайней мере, с точки зрения, приведенной выше, разделяемой Дираком, Ландау и т. д., это всего лишь очень ошибочный/плохой аргумент против петлевой квантовой гравитации, который, будучи неверным, на самом деле просто позволяет защитникам изображать все это как неправильный. Действительно, аргумент «проверяемости спектра дискретной площади» так же плох, как, например, отказ от классической механики из-за того, что у нас нет бесконечной точности, как упоминалось выше, это своего рода слабый аргумент, используемый для отрицания физических предсказаний о свободных частицах, данных выше, и это просто не рассматривает теорию по стандартам оценки других теорий. Это, например, кажется гораздо более сильным аргументом против него, который обращается к его собственной внутренней логике.

Использованная литература:

1. Ландау и Лифшиц, «Квантовая механика», 3-е изд.;
2. Гриффитс, «Введение в квантовую механику», 2-е изд.
3. nlab: " оснащенное гильбертово пространство ".
4. Баллентин, «Квантовая механика, современное развитие», 1-е изд.
5. Дирак, «Принципы квантовой механики», 4-е изд.
6. Крамерс, "Квантовая механика", 1-е изд.
7. Борн, «О квантовой механике столкновений» (1926 г.), JAW, перевод WHZ (1981 г.).
8. Брансден и Джоачейн, «Квантовая механика», 2-е изд.
9. фон Нейман, "Математические основы квантовой механики", 1-е изд.
10. Белл, « Против измерения », 1990 г., Phys. Мир 3 (8) 33.