δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?

Общее явление состоит в том, что если собственное состояние соответствует дискретному собственному значению (например, связанным собственным состояниям атома водорода или гамильтонианам гармонического потенциала), то состояние нормализуется, а если оно соответствует непрерывному собственному значению, состояние не нормализуется. Под «непрерывным собственным значением» я подразумеваю собственное значение, принадлежащее непрерывной части спектра. Оператор позиции$\hat{x}$имеет непрерывный спектр, так что на самом деле не проблема, что запросить норму$|x\rangle$не имеет смысла, потому что мы не должны ожидать, что это состояние будет иметь четко определенную норму.

В вашем примере все выглядит странно из-за дельта-функции, но странности возникают и в других местах. Например, рассмотрим оператор импульса$\hat{p}$. Собственный вектор$\hat{p}$с собственным значением$p$является:

$$\psi_p(x)=e^{i p x}$$

Интеграл от нормы этого по всему пространству явно расходится. Это точно такая же проблема, как "$\delta(0)$". Поэтому приходится выбирать ее нормировку по другому условию. Обычно это делается через тождество$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, который можно сделать строгим другими способами. Тогда мы обычно определяем

$$\langle x|p\rangle=\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i p x}$$ как правильную нормировку, потому что тогда

$$\begin{align*} \langle p | p'\rangle&=\int \langle p | x \rangle\langle x | p'\rangle dx \\ &=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ip x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip' x}dx \\ &=\int \frac{1}{2\pi}e^{ix(p'-p)}dx \\ &=\delta(p'-p) \end{align*}$$ Это определенно отличное условие нормализации от $\langle p | p\rangle=1$! Другие нормализации полезны для других контекстов. Если я правильно помню, нормализация «вероятность 1 для 1 единичного куба» (соответствующая первому случаю без пи в нем) более полезна при расчете сечений рассеяния.

Как правило, все это можно сделать строгим, но вы не получите от этого многого. Для спектра$\hat{x}$оператора, эти собственные состояния технически не находятся в гильбертовом пространстве . Чтобы второй набор уравнений был строгим, вы обычно действуете с тестовой функцией (поэтому вместо того, чтобы беспокоиться о том,$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, вы беспокоитесь о том,$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} f(x)dkdx=2\pi f(0)$, при различных ограничениях на функцию$f$и различные пределы интеграла. Полезно уделить некоторое внимание этим техническим аспектам, но обычно вы не извлекаете из этого много физики.

Предполагая, что все, что мы делаем, хорошо определено (что на самом деле не так, но в прошлый раз, когда я проверял, это был не math.stackexchange), мы имеем следующее:

$$\begin{align} \langle x_1 | x_1 \rangle &= \int \mathrm{dx}\ |x_1(x)|^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)\delta(x-x_1) \\ &= \delta(x_1 - x_1) \\ &= \delta(0) \end{align}$$

так что все получается. Решающим шагом является четвертое равенство, где я использовал$\int \mathrm{d}x\ \delta(x-x_1) f(x) = f(x_1)$с$f(x) = \delta(x-x_1)$.