Волновая функция не нормализуется

Question

Волновая функция не нормализуется

пользователь119264

Всегда ли решение уравнения Шрёдингера должно быть нормируемым? Под нормализуемым я подразумеваю, учитывая волновую функцию $\psi(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс < \infty или \int_{0}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx<\infty \qquad \text{or}\qquad \int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

Каковы будут физические последствия, если один (или оба) из этих интегралов расходятся. С точки зрения того, что копенгагенская интерпретация является одной из самых популярных и волновая функция в данном случае интерпретируется как распределение вероятностей; будет ли расходящаяся волновая функция справедливой для любой другой интерпретации квантовой механики. Кто-нибудь знает какие-нибудь волновые функции, которые нельзя нормализовать? Что, если бы в точке 0 была сингулярность, из-за которой она всегда расходилась бы? Например

\int_{0}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс \to \infty но \int_{а}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс < \infty

$\int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx \to\infty\quad \text{but}\quad \int_{a}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

где $a>0.$ Будет ли второй интеграл считаться действительным PDF ?

резг

Собственные состояния импульса не нормализуются в пространстве состояний положения.

пользователь37343

@namehere, что это значит, что «собственные состояния импульса не поддаются нормализации»

Ответы (3)

Волновая функция не нормализуется

Собственные состояния импульса не нормализуются в пространстве состояний положения.
@namehere, что это значит, что «собственные состояния импульса не поддаются нормализации»

ДВ · Answer 1

Исходя из моих ограниченных знаний в этой области, я бы сказал, что ненормируемая волновая функция не имеет никакого физического смысла.

Помните, что волновая функция — это функция, квадрат значения которой вычисляется между двумя точками и представляет собой вероятность того, что частица будет найдена между этими двумя точками. Таким образом, ограничение на нормализацию волновых функций — это всего лишь намек на реальность — частица должна быть ГДЕ-ТО найдена.

Как правило, ограничение:

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} д Икс "=" 1,

$\int_{-\infty}^ {\infty} |\psi(x)|^{2} dx = 1,$ то есть вероятность найти частицу, если вы посмотрели между

- \infty

$-\infty$ и

\infty

$\infty$ равно 1. Вероятность обнаружения частицы между этими границами больше единицы не имеет никакого физического смысла.

Наличие волновой функции, описанной уравнениями, которые вы опубликовали выше, означало бы, что существует бесконечный шанс найти частицу где угодно .

Я думаю, что ваше объяснение разумно. Мы накладываем максимальную вероятность на единицу. Отсюда вносим коррективы, которые оттуда вытекают. Здесь мы используем mod-squared в соответствии с ограничениями 2-нормы. Думаю в этом суть.

Панк_Физик · Answer 2

Волновая функция должна быть либо нормализуемой, либо пределом последовательности нормируемых функций, которые в общем случае известны как распределения (обобщения функций). Хорошо известным примером распределения является дельта-функция Дирака. $\delta(x)$ . Если пространственная волновая функция $\psi=\delta(x_0)$ , то волновая функция импульса будет иметь вид $\psi\propto e^{-ipx_0},$ что не является строго нормируемым. Противоположный пример $\psi(p)=\delta(k)$ которые представляют собой бесконечные плоские волны с пространственными волновыми функциями вида $\psi\propto e^{ikx}.$

То, как мы поступаем с этим математически, предполагает, что такие состояния нормализуемы, т.е.

\int | е^{я к Икс} |^{2} д Икс "=" \int д Икс \equiv 1,

$\int |e^{ikx}|^2dx=\int dx\equiv 1,$ хотя этот интеграл расходится. Физическое решение состоит в том, что « бесконечные плоские волны» никогда не бывают физически бесконечными.

На самом деле мы имеем дело с плоскими волнами, создавая волновые пакеты. В принципе, мы предполагаем $е^{я (к Икс - \frac{ℏ к^{2}}{2 м} т)}$ $e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ являются допустимыми решениями (для каждого $k$ ), а затем продолжайте говорить: хорошо, тогда общее решение представляет собой их линейную комбинацию. $Ψ \propto \int_{- \infty}^{\infty} д к ф (к) е^{я (к Икс - \frac{ℏ к^{2}}{2 м} т)}$ $\Psi \propto \int_{-\infty}^{\infty}{dk\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}}$ Если мы выберем $\phi(k)$ правильно, эта функция нормализуема . Конечно, в действительности плоская волна — это такая же идеализация, как и поверхность без трения, поэтому необычное поведение не является чем-то совершенно неожиданным.

teja4477 · Answer 3

да, хорошим примером будет решение свободной частицы. Если решение похоже на решение плоской волны, следовательно, такие золи не представляют физически приемлемые состояния. Это причина, по которой любая проблема, связанная со свободной частицей, должна иметь начальную волновую функцию, которую можно нормализовать. иначе мы не можем двигаться дальше.

Волновая функция не нормализуется

пользователь119264

резг

пользователь37343

Ответы (3)

ДВ

пользователь37343

Панк_Физик

Воутер

teja4477

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?

Нормализация волновой функции свободной частицы

Нормализация волновой функции в виде Aei(kx-wt)Aei(kx-wt)Ae^{i(kx-wt)}

Как гарантировать интегрируемые с квадратом решения уравнения Шредингера, не зависящего от времени?

Использование разделения переменных для решения уравнения Шредингера для свободной частицы

Как волновая функция свободной частицы ψ(x,t)=Aexp{i(kx−ωt)}ψ(x,t)=Aexp⁡{i(kx−ωt)}\psi(x,t)=A \exp \{ i(kx-\omega t)\} удовлетворяют условию нормализации? [дубликат]

Доказательство независимости нормировочной константы волновой функции от времени

Позиционная волновая функция не нормализуется? -Волновая функция в эксперименте с двумя щелями

Нормализация многочастичных волновых функций