Мнимое собственное значение эрмитова оператора

Собственные функции эрмитова оператора вещественны. Но рассмотрим функцию ψ ( Икс ) "=" е − κ Икс , Икс е р , где κ является реальной константой. Затем,

п ^ ψ ( Икс ) "=" − я ℏ г г Икс е − κ Икс "=" я κ ℏ ψ ( Икс ) .
Это дает чисто мнимое собственное значение. Разве это не противоречие? Или я упускаю какой-то важный момент?

Интересный вопрос. Просто указать, что собственные значения эрмитова оператора действительны, а не собственные функции.
эта функция нефизична
Нефизическое не означает, что это математически невозможно. Я считаю, что правильный ответ лежит в оснащённом гильбертовом пространстве, связанном с л 2 ( р ) , я должен проверить, но я думаю, что ψ ( Икс ) "=" е − κ Икс с реальным κ не лги там. В любом случае, вам не нужны собственные векторы для определения собственных значений, а спектральная теорема в этом случае исключает недействительные собственные значения.

Ответы (2)

Что такое ваше гильбертово пространство? В л 2 ( р ) ваша собственная функция будет иметь бесконечную норму. Если вместо этого вы имели дело с ограниченным множеством л 2 ( [ а , б ] ) , ваш оператор не будет эрмитовым, если вы не наложите подходящие граничные условия, чтобы отбросить граничные члены. Однако эти граничные условия исключат ваш собственный вектор-кандидат!

Хорошо. Я предполагал, что при указании оператора надо указывать и его домен. Это правильно?
Да, вы также должны указать гильбертово пространство и домен в нем!
В. Моретти-Но даже е я к Икс не является членом л 2 ( − ∞ , ∞ ) . Но это дает действительное собственное значение для того же оператора. Следовательно, из вашего ответа я понял, что, если домен не указан, не гарантируется, что собственные значения эрмитова оператора реальны, это может быть что угодно, реальное или мнимое.
(переписываю, так как непонятно, так как отправлял с мобильного телефона). Да, е я к Икс является обобщенным собственным вектором, подобным дельта ( Икс ) для оператора положения ... Для самосопряженных операторов условие реальности выполняется и для обобщенных собственных векторов, но это более техническое доказательство.

Спектральная теорема применима к «самосопряженным» операторам. Эрмитовы симметричные операторы не обязательно являются самосопряженными. Одно из эквивалентных определений состоит в том, что А является самосопряженным, если нет ф в гильбертовом пространстве такое, что ( ф , ( А − λ ) г ) "=" 0 для всех g в области А с ненастоящим λ . Ваш пример является доказательством самосопряженности оператора.
Примером несамосопряженного симметрического оператора является я г г Икс на области гладких функций на ( 0 , ∞ ) . Учитывать ф "=" е − Икс .

Мнимое собственное значение эрмитова оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v