Как использовать коэффициенты Клебша-Гордана для 3 частиц?

У меня есть гамильтониан для 3 частиц со спином 1, который я свел к следующему:

к ( С 2 + ⋯ ) ,
где:
С "=" С 1 + С 2 + С 3 .
Я где-то читал в Интернете , что коэффициенты Клебша-Гордана можно использовать для определения значения С 2 , но я его не вижу. Может ли кто-нибудь объяснить мне, как использовать коэффициенты Клебша-Гордана для этого случая? - В частности, я понимаю (более или менее) коэффициенты Клебша-Гордана для сложения двух угловых моментов, но здесь у меня есть 3 частицы. Существует ли эквивалент коэффициентов Клебша-Гордана для трех угловых моментов? Дж 1 , Дж 2 , Дж 3 ?

Коэффициенты Клебша-Гордана помогут вам связать общий базис |SM> с базисом прямого произведения |s1m2>|s2m2>|s2m2>.
Комплексная проверка: коэффициенты Рака .

Ответы (2)

Коэффициенты Клебша-Гордана позволяют рассматривать n спинов (или вообще - любые n частиц с произвольным угловым моментом) как единую составную систему. Коэффициенты представляют собой просто матричный элемент базисного преобразования из разделенной системы в составную.

Для 2 частиц с собственными значениями полного углового момента л 1 , л 2 , например, м 1 "=" − л 1 , − л 1 + 1 , . . . , + л 1 составная система -

( л 1 ) ⊗ ( л 2 ) ∼ ( л 1 + л 2 ) ⊕ . . . ⊕ ( | л 1 − л 2 | )

2 спиновые получастицы превращаются в -

( 1 2 ) ⊗ ( 1 2 ) ∼ ( 1 ) ⊕ ( 0 )

левый размер описывает 2 частицы, каждая из которых имеет спин 1/2, и вы можете описать конфигурацию разумной системы комбинацией этих спинов -

| + + ⟩ , | + − ⟩ , | − + ⟩ , | − − ⟩

правая часть описывает систему как составную систему, которая может быть описана ее полным угловым моментом и полным г компонент -

| С т о т "=" 1 , м с "=" 1 ⟩ , | С т о т "=" 1 , м с "=" 0 ⟩ , | С т о т "=" 1 , м с "=" − 1 ⟩ , | С т о т "=" 0 , м с "=" 0 ⟩ ,

Как я уже сказал, коэффициенты Клебша-Гордана являются базовыми элементами матрицы преобразования, например, один из них -

⟨ + + | С т о т "=" 1 , м с "=" 1 ⟩

Чтобы добавить 3 вращения, сначала добавьте 2, а затем добавьте третье в составную систему -

[ ( 1 2 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ⊗ ( 1 2 ) ∼ [ ( 1 ) ⊕ ( 0 ) ] ⊗ ( 1 2 ) ∼ [ ( 1 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ⊕ [ ( 0 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ∼ ( 3 2 ) ⊕ ( 1 2 ) ⊕ ( 1 2 )

(обратите внимание на первое добавление. Последнее является "условным" - если S1+S2=1, то... если S1+S2=0, то)

так что новая база, в порядке | С т о т , С 1 + 2 , м т о т ⟩ является

| 3 2 , 1 , − 3 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , − 1 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , 1 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , 3 2 ⟩ , | 1 2 , 1 , 1 2 ⟩ , | 1 2 , 1 , − 1 2 ⟩ , | 1 2 , 0 , − 1 2 ⟩ , | 1 2 , 0 , 1 2 ⟩

этого достаточно для большинства приложений (нахождение энергетического спектра и т. д.)

Спасибо Александр! Значит, в случае с 3 спинами мне нужно использовать коэффициенты CG дважды, для добавления 2 спинов, а затем еще раз, чтобы добавить их к третьему спину?
Да, это общий метод добавления спинов/угловых моментов любого количества частиц. Обратите внимание, что коэффициенты требуются только в том случае, если вам нужно явное представление новых состояний в терминах старых. На многие вопросы можно было бы ответить, даже не зная конкретных коэффициентов Клебша-Гордана, а только с окончательными квантовыми числами (которые определяют конфигурацию системы) (вопросы, которые требуют знания собственных значений составной системы, таких как энергетический спектр, но не собственные векторы)
Спасибо - да, я это понял, я могу получить энергии и вырождения просто путем разложения суммы. Очень аккуратный!

Имейте в виду, что порядок, в котором вы делаете муфты, имеет значение, в том смысле, что ( Дж 1 ⊗ Дж 2 ) → Дж 12 с последующим Дж 12 ⊗ Дж 3 → Дж , обычно записывается как ( Дж 1 Дж 2 ) Дж 12 Дж 3 Дж , не будет создавать те же базисные состояния, что и связь Дж 2 ⊗ Дж 3 → Дж 23 сначала, а потом сцепление Дж 1 ⊗ Дж 23 → Дж , или Дж 1 ( Дж 2 Дж 3 ) Дж 23 Дж . Два набора базовых состояний связаны унитарным преобразованием, которое используется для определения коэффициентов Рака как перекрытий между двумя базами.

Как использовать коэффициенты Клебша-Гордана для 3 частиц?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v