Проблема с подсчетом спиновых состояний

Ах, это очень тонкая вещь, и это правда, что сначала это происходит для четырех электронов.

Во-первых, вот простой способ узнать, сколько состояний вы должны ожидать: просто используйте «основу спина отдельного электрона». С четырьмя электронами каждый из них может быть направлен вверх или вниз, поэтому мы ожидаем, что в сумме$2^4 = 16$состояния.

Итак, где вы пропустили штаты? Например, существует более одного состояния со спином 0: вы можете получить состояние со спином 0, если скомбинируете по два электрона каждый в синглет со спином 0, а затем объедините эти два состояния со спином 0 в общее состояние со спином 0.

Но вы также можете объединить по два электрона в состояние со спином 1, и тогда мы знаем из правил сложения угловых моментов, что общий угловой момент двух систем со спином 1 может быть$0$,$1$или$2$, поэтому вы получаете второе состояние со спином 0, комбинируя состояния со спином 1 определенным образом.

Итак, бухгалтерия:

Мы получаем два состояния со спином 0.

Мы получаем 9 состояний со спином 1 (3 способа получить состояние со спином 1: либо первая пара электронов имеет спин 1, а вторая спин 0, либо первая пара имеет спин 0, а вторая имеет спин 0, либо оба имеют спин 1 ).

Получаем 5 состояний спина 2.

5 + 9 + 2 = 16.

Лагербер уже ответил на вопрос ОП для$n=4$различимые спиновые дублеты. В более общем смысле, число спиновых мультиплетов$n$различимые спиновые дублеты могут быть выведены из повторных применений$SU(2)$Правило слияния Клебша-Гордана

$$\underline{\large\bf 2} \otimes \underline{\large\bf n}~=~ \left\{ \begin{array}{lcl} \underline{\large\bf n+1}~\oplus~\underline{\large\bf n-1} &\text{for}& n\geq 2, \\ \underline{\large\bf n+1}&\text{for}& n=1, \end{array} \right.$$

и распределительный закон для$\otimes$и$\oplus$. В явном виде первые несколько тензорных степеней читаются

$$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 1} ~=~\underline{\large\bf 2},$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 2} ~=~\underline{\large\bf 3}~\oplus~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 3} ~=~\underline{\large\bf 4}~\oplus~2~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 4} ~=~\underline{\large\bf 5}~\oplus~3~\underline{\large\bf 3} ~\oplus~2~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 5} ~=~\underline{\large\bf 6}~\oplus~4~\underline{\large\bf 4} ~\oplus~5~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 6} ~=~\underline{\large\bf 7}~\oplus~5~\underline{\large\bf 5} ~\oplus~9~\underline{\large\bf 3}~\oplus~5~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\vdots$$

Здесь иррепы$\underline{\large\bf 1}$,$\underline{\large\bf 2}$,$\underline{\large\bf 3}$,$\ldots$, обозначают синглет, дублет, триплет,$\ldots$, т. е. спин$0$,$\frac{1}{2}$,$1$,$\ldots$, соответственно. Приведенный выше образец напоминает треугольник Паскаля . Ясно, что общая формула имеет вид

$$\underline{\large\bf 2}^{\otimes n}~=~\bigoplus_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} m_{n,k} ~\underline{\large\bf n+1-2k}, \qquad n\in \mathbb{N}.$$

Здесь кратности$m_{n,k}\in \mathbb{N}_{0}$удовлетворить

$$m_{n,k}~=~0 \quad\text{for}\quad k> [\frac{n}{2}],$$

$$m_{n,0}~=~1,$$

и

$$m_{n,k-1}+ m_{n,k}~=~m_{n+1,k}\quad\text{for}\quad k \geq 1.$$

Замкнутая формула для кратностей читается (хеттип: Тримок)

$$m_{n,k}~=~ \frac{n!~(n + 1 - 2k)}{k!~ (n + 1 - k)!}.$$

На четыре, скажем, электрона имеем 16 ($=2^4$) возможные состояния. 1 со вращением +2 и 1 со вращением -2, 4 со вращением +1 и 4 со вращением -1, и, наконец, 6 со вращением 0, так что всего 16 (1,4,6,4,1 соответствуют строке 4 треугольника Паскаля). См. этот вопрос для состояний n электронов.

Например, для трех электронов мы получаем состояние (помощь треугольника Паскаля, очевидно, хорошо окупается в случае большого числа электронов):

$$\frac 1 {\sqrt{8}}(+|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle-|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle-|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle)$$

Эта полная волновая функция нормализована и антисимметрична, если мы поменяем местами кеты с противоположными стрелками.