Спиновые коммутационные соотношения

Для орбитального углового момента, определяемого как л "=" р × п мы можем доказать в квантовой механике коммутационные соотношения. Кроме того, мы могли бы доказать эти соотношения, изучая вращения (бесконечно малые) в пространстве. Это:

[ л я , л Дж ] "=" я ℏ ∑ к ε я Дж к л к .

Поскольку для спинового углового момента не существует аналогичного определения, подобного определению орбитального углового момента,

  1. Как мы можем доказать коммутационные соотношения:

    [ С я , С Дж ] "=" я ℏ ∑ к ε я Дж к С к .

  2. Можем ли мы пойти по пути, аналогичному пути орбитального углового момента, т. е. изучению вращений в некотором пространстве, и если да, то в каком пространстве и что это пространство представляет?

1. Что вы имеете в виду под «доказательством» CR для С я ? Как вы определяете С я если не как именно спиновые операторы, выполняющие это соотношение? 2. Нет, весь смысл спина в том, что он отсутствует из классических соображений. (Конечно, операторы, будучи представителем с о ( 3 ) , по-прежнему действует как вращение основания некоторого гильбертова пространства, но у меня такое чувство, что вы не это имеете в виду.
Возможно, вам захочется прочитать общие сведения о теории представлений, алгебрах Ли и группах Ли. Они имеют дело (среди прочего) с набором операторов, которые подчиняются некоторому набору коммутационных соотношений, построением абстрактного векторного пространства, на котором они действуют, а затем «возведением в степень» их (так же, как вы возводите в степень л г чтобы получить вращение о г -ось), чтобы сформировать группу преобразований в этом векторном пространстве. Набор вращений в трех измерениях является лишь частным случаем этого процесса.
@ACuriousMind Привет. Вы имеете в виду в 1), что определением спиновых операторов являются коммутационные соотношения? 2) В двух словах, это что-то вроде того, что я имел в виду.
@MichaelSeifert Привет. Докажем ли мы для орбитального углового момента коммутационные соотношения или примем их как определения? В классе мы доказали их, и это то, что я, хотя. Если это так, то, прочитав ответ, почему такой метод не применим к вращению?
С точки зрения алгебр Ли коммутационные соотношения являются фундаментальными; любой такой набор операторов, удовлетворяющих этим соотношениям, является реализацией этой конкретной алгебры Ли. Затем мы можем взять набор операторов, действующих в некотором векторном пространстве (например, л г "=" − я ℏ ( Икс ∂ у − у ∂ Икс ) и так далее, действующие на гильбертовом пространстве волновых функций) и доказать, что они удовлетворяют этим соотношениям. Но с точки зрения алгебр Ли вы доказали, что эти операторы являются конкретным воплощением коммутационных соотношений, которые являются фундаментальными.
И как коммутационные соотношения (в физике, а не в математике) становятся фундаментальными? Через экспериментальные наблюдения?
@MichaelSeifert Любые предложения по началу чтения таких предметов (книг)? Спасибо.

Ответы (1)

Вы, кажется, смущены тем, как спин вводится в обычном КМ. Это скорее ad hoc:

Для заданного гильбертова пространства без спиновых степеней свободы частицы ЧАС 0 , и вращение с частицы, мы принимаем полное пространство состояний частицы как ЧАС 0 ⊗ С с , где С с это 2 с + 1 -мерное комплексное гильбертово пространство, несущее единственное неприводимое представление С U ( 2 ) помечен с .

По построению имеются три антиэрмитовых образующих Т я е с ты ( 2 ) ≅ с о ( 3 ) действующий на С с выполнение коммутационных соотношений

[ Т я , Т Дж ] "=" ∑ к ϵ я Дж к Т к
из которого вы получаете обычные эрмитовы спиновые операторы, умножая на я .

Для с "=" 1 , космос С 1 является трехмерным, а действие Т я представляет собой просто действительное вращение вокруг я -оси, но, вообще говоря, представления С U ( 2 ) не являются поворотами, хотя могут ими быть всякий раз, когда карта представления С U ( 2 ) → U ( 2 с + 1 ) попадает только в действительные ортогональные матрицы О ( 2 с + 1 ) ⊂ U ( 2 с + 1 ) , что происходит для целых с .

Спасибо. Могу я спросить, почему это представлено именно так?
@ConstantineBlack: Изначально, потому что нам нужно было что-то, чтобы объяснить эксперимент Штерна-Герлаха, и это работает (для с "=" 1 / 2 ). В наши дни можно было бы сказать, что это происходит из-за того, что КМ является нерелятивистским предельным случаем КТП, где каждое поле естественным образом должно преобразовываться в некоторое представление (универсального покрытия) группы Лоренца, а то, что осталось от группы Лоренца в нерелевантный предел С О ( 3 ) , и поэтому все в КМ должно/может трансформироваться в представление С U ( 2 ) (будучи универсальным покрытием группы вращений).
Спиновые коммутационные соотношения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v