Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

В настоящее время я застрял на следующей нотации:

1 2 ⊗ 1 2 "=" 0  (антисим)  ⊕ 1  (симв) 

Что бы я ни пытался, я не мог установить личность. Я уверен, что это тривиально, но я не могу понять, как обращаться с обозначениями. Было бы здорово, если бы кто-нибудь мог записать это в матричной нотации или в скобочной/кетонной нотации с явными спинами ( ↑↓ ).

Знаете ли вы о правилах сложения угловых моментов в квантовой механике? Я предполагаю, что в вашей формуле н пространство состояний для спина н частица, где н "=" 0 , 1 2 , 1 . Уравнение говорит, что пространство состояний для двух спинов 1 2 частиц можно разложить в сумму собственных пространств для оператора полного спина С "=" С ( 1 ) ⊗ я + я ⊗ С ( 2 ) . Это можно сделать с помощью коэффициентов Клебша-Гордана . Если вы хотите получить более подробную информацию, дайте мне знать, и я добавлю их в ответ!

Ответы (3)

Базисные состояния слева задаются выражением

| ↑↑ ⟩ , | ↑↓ ⟩ , | ↓↑ ⟩ ,  и  | ↓↓ ⟩ .

Справа вы должны симметризовать эти состояния относительно обмена первым и вторым спином (именно это означают sym и antisym). Существует только одна антисимметричная комбинация (попробуйте понять, почему существует только эта комбинация с точностью до умножения на комплексную константу)

| С ⟩ "=" 2 − 1 / 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )
где 2 − 1 / 2 служит для нормализации. Поскольку это состояние одиночное, оно называется синглетным.

Ортогональное дополнение четырех состояний - это три состояния (триплет), которые симметричны относительно обмена.

| Т , 1 ⟩ "=" | ↑↑ ⟩ , | Т , 0 ⟩ "=" 2 − 1 / 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ ) ,  и  | Т , 1 ⟩ "=" | ↓↓ ⟩ .

Это выписано явно, что обозначение

1 2 ⊗ 1 2 "=" 0  (антисим)  ⊕ 1  (симв) 
означает.

Большое спасибо за этот ответ. Меня это почти устроило ;-). Единственное, что меня все еще интересует, это то, как вы явно вычисляете прямую сумму в правой части. Я читал о прямой сумме в гильбертовых пространствах на en.wikipedia.org/wiki/… , но, к сожалению, не смог применить данные формулы к состояниям, указанным в вашем ответе. Было бы здорово, если бы вы могли добавить, как явно вычислить правую часть. Большое спасибо.
Прямая сумма ЧАС "=" В 1 ⊕ В 2 не что иное, как утверждение, что Hilberspace ЧАС состоит из В 1 и В 2 , т. е. базис в ЧАС является комбинированной основой В 1 и В 2 .

Обозначения в левой части относятся к набору тензорных произведений двух состояний со спином 1/2 (две компоненты), а правая часть относится к прямой сумме спина-0 (один компонент) и спин-1 ( три компонента). Антисим. и сим. относятся к симметричным и антисимметричным комбинациям спинов.

Так как я не уверен сразу, как сделать bra/ket's в Mathjax, я буду использовать матричное обозначение. Позволять ψ я и х я , я "=" 1 , 2 представляют собой два двухкомпонентных спинора. Состояния в левой части ψ я х Дж . Четыре из них соответствуют комбинациям ( я , Дж ) "=" ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) . Их можно переписать в терминах линейных комбинаций

ψ 1 х 2 − ψ 2 х 1

и

ψ 1 х 1 , ψ 1 х 2 + ψ 2 х 1 , ψ 2 х 2

где я не учел нормализующие факторы. Это синглет и триплет справа соответственно. Обратите внимание, что синглет антисимметричен, а триплет симметричен относительно перестановки индексов.

Для доказательства того, что триплет и синглет имеют заявленные значения углового момента, оперируют состояниями с Дж → 2 "=" ( Дж → 1 + Дж → 2 ) 2 оператор, где Дж → 1 и Дж → 2 – операторы углового момента для ψ и х компонентов соответственно. Единственная нетривиальная часть - термин, включающий Дж → 1 ⋅ Дж → 2 . Вы должны обнаружить, что он не смешивает ни одно из состояний комбинации, которые я написал.

используя язык теории групп ( 1 2 , 0 ) ⨂ ( 1 2 , 0 ) "=" ( 1 2 , 1 2 ; 0 , 0 ) "=" ( 1 , 0 ) ⨁ ( 0 , 0 ) Для Su(2) (0,0) является инвариантом, ϵ я Дж и это антисимметричный тензор. (1,0) — симметричный тензор. Количество тензорных индексов равно 2 с для ( с , 0 ) ≡ ( с ) .

Рекомендации:

(1) Лекция Коулмана: Введение в унитарную симметрию

(2) Алгебры Джорджи Ли в физике элементарных частиц (2-е издание), глава 10

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v