Одновременно коммутирующий набор

Как определить членов одновременно коммутирующего множества (операторов)? Например, я читал, что для орбитального углового момента набор равен { ЧАС , л 2 , л г }. Как узнать, что это все или что именно эти операторы должны быть включены? Не потому ли, что такого множества достаточно, чтобы различить все собственные состояния, несмотря на вырождения?

Кроме того, почему

л 2 | ℓ , м ⟩ "=" ℏ ℓ ( ℓ + 1 ) | ℓ , м ⟩
и
л г | ℓ , м ⟩ "=" ℏ м | ℓ , м ⟩ ,

где ℓ , м являются целыми числами?

Определено ли оно как таковое или является результатом определения каких-то более фундаментальных вещей?

Множество коммутирующих операторов никогда не будет конечным множеством. Позволять | н ⟩ — фиксированный ортонормированный базис вашего сепарабельного гильбертова пространства, индексированный натуральными числами. Позволять ф , г : Н → р быть произвольными функциями, отображающими натуральные числа в действительные числа, так что они отличны от нуля только для конечного числа входных данных. Затем | н ⟩ ↦ ф ( н ) | н ⟩ и г являются коммутирующими компактными операторами. В общем случае множество всех компактных операторов, которые можно диагонализовать фиксированным базисом ON, несчетно бесконечно; поскольку все они могут быть одновременно диагонализированы, они взаимно коммутируют.
@Вилли: Спасибо! :) Я полагаю, что как-то { ЧАС , л 2 , л г } достаточно, чтобы различать собственные состояния? Кроме того, учитывая, что { ЧАС , л 2 , л г } является коммутирующим набором, ваше хорошо аргументированное утверждение можно было бы реализовать, формируя линейные комбинации компонентов?
Любой ф ( н ) который инъективен в р «достаточно, чтобы различить собственные состояния», если под этой фразой вы подразумеваете то, что я думаю, вы имеете в виду. (Достаточно ли гамильтониана, чтобы различить собственные состояния гармонического осциллятора?) Но нет, набор коммутирующих операторов, который я записал, фактически образует бесконечномерное векторное пространство. Таким образом, это не может быть дано только в терминах линейных комбинаций трех операторов. (например, оператор М 2 | л , м ⟩ "=" м 2 | л , м ⟩ будет ездить с ЧАС , л 2 , л г , но не является линейной комбинацией трех.)
bra-ket, у вас есть два отдельных вопроса. Я бы предложил удалить часть о том, почему л 2 и л г определяются такими, какие они есть, и публикуют это как отдельный вопрос.

Ответы (1)

По практическим причинам физики любят обозначать состояния системы набором «квантовых чисел». Технически это означает, что вы ищете набор взаимно коммутирующих эрмитовых операторов, таких что: (i) каждый вектор из базы общих собственных векторов этих операторов однозначно характеризуется набором собственных значений (т.е. вышеупомянутыми квантовыми числами); (ii) Набор операторов минимален в том смысле, что, удаляя любой из операторов, вы теряете свойство (i). Первое условие подразумевает, что ваш набор операторов полный, а второе — что нет избыточности. Поскольку обычно вы хотите использовать квантовые числа для обозначения стационарных состояний, то есть собственных состояний гамильтониана,

Теперь очевидно, что для любой данной системы и ее гильбертова пространства существует множество наборов операторов, удовлетворяющих двум указанным выше условиям. В принципе, свой набор операторов можно найти по следующему алгоритму. Выберите любой (эрмитов) оператор А и определить его спектр. Если нет вырождения, вам конец. В противном случае добавьте еще один оператор Б который ездит с А такое, что существует пара общих собственных векторов с одинаковыми собственными значениями А но разные собственные значения Б . (Это гарантирует, что вы улучшите свое «разрешение» в спецификации собственных векторов набором собственных значений.) Если нет двух собственных векторов, для которых оба А и Б имеют то же собственное значение, вы сделали. В противном случае повторите предыдущий шаг.

Следует подчеркнуть, что введенное таким образом понятие полного набора коммутирующих операторов несколько расплывчато. Например, здесь не сказано, сколько операторов нужно для формирования полного набора в заданном гильбертовом пространстве. На самом деле, как указал Вилли Вонг в своем комментарии, в принципе достаточно одного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве. Вот, может быть, чуть менее абстрактный пример. Вы знаете, что состояния спиновой системы можно характеризовать, задавая одновременно значения л → 2 и л г . (Орбитальными степенями свободы я пренебрегаю, так что этих двух операторов достаточно.) Однако можно взять и оператор л → 2 + α л г где α произвольное иррациональное число. Вы можете легко убедиться, что собственного значения этого единственного оператора достаточно, чтобы однозначно пометить все состояния. | л , м ⟩ .

Что касается вашего второго вопроса, я бы просто отослал вас к любому учебнику по квантовой механике. Тот факт, что собственные значения л → 2 и л г принять форму ℏ л ( л + 1 ) (где л является неотрицательным целым числом или полуцелым числом) и ℏ м где м е { − л , − л + 1 , … , л − 1 , л } , является не просто вопросом определения, но следует из коммутационного соотношения для оператора углового момента,

[ л я , л Дж ] "=" я ℏ ε я Дж к л к .

Большое спасибо ! Это очень хорошо объясняется. :)
Одновременно коммутирующий набор
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v