Как можно классически и микроскопически объяснить отражение и преломление?

Кажется, что на то, о чем вы действительно спрашиваете, отвечает теорема об исчезновении Эвальда-Озена.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ewald%E2%80%93Oseen_extinction_theorem

Канонический вывод находится в « Борн и Вольф» .

Хотя вы заявили, что вас не интересует принцип Гюйгенса, я хочу добавить примечание к этому объяснению. В ответе мне понадобится выражение для электрического поля излучающего диполя

$$\boldsymbol{\rm E}\left(\boldsymbol{r},t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{\theta}$$

Это выражение предполагает, что диполь колеблется в$\hat{z}$направление. Теперь посмотрите, например, на эту картинку

взято отсюда . Эта иллюстрация как бы отбрасывает поляризацию приходящей волны (как вы сказали), но если подумать об этом подробнее, то оказывается, что это не так. Излучение в плоскости падения является круговым только для$s$-поляризованный свет , так как тогда каждый диполь колеблется в$z$направление (внутрь и наружу страницы) и излучающее поле, заданное

$$\boldsymbol{\rm E}\left(r,\theta=\frac{\pi}{2},\varphi,t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{z}$$

независим от$\varphi$и$s$- тоже поляризованный. Если, с другой стороны, вы хотите лечить$p$-поляризованный свет, то каждая точка решетки должна излучать, как на этом изображении

взято отсюда , и это обязательно будет иметь другие последствия от$s$-поляризованные диполи. Популярным примером является существование угла Брюстера, который является результатом того, что диполь не излучает на своей оси колебаний. Также, как и прежде, видно, что поляризация излучения дальнего поля параллельна направлению колебаний диполя. Это означает, что$p$- поляризация сохраняется.

Рассмотрим плоскополяризованную световую волну, падающую на стекло. Заряды внутри стекла каким-то образом колеблются, так что первоначальная волна гасится, и возникают как преломленная, так и отраженная волна.

Мы начинаем с группы зарядов, колеблющихся в одном направлении (предположительно), и каким-то образом заряды производят излучение ровно в трех направлениях.

Верно ли предположение, что все заряды в плоскости колеблются в одном направлении? Что-то другое происходит прямо на интерфейсе? Иначе как могут заряды, колеблющиеся одинаково, производить излучение в трех направлениях, а не в одном, двух или бесконечном множестве?

Все осцилляторы колеблются в одном направлении, мы знаем это из макроскопической теории, где поляризация везде имеет одно и то же направление.

Чистый эффект, по-видимому, заключается в подавлении первичной волны в среде и создании другой волны с другой длиной волны и направлением. (Но это только кажущийся эффект в макроскопической теории. Это не означает, что осцилляторы в среде не испытывают силы из-за первичной волны.)

Это также происходит только при особых обстоятельствах: граница длинная и гладкая; среда достаточно плотная, поэтому осцилляторы расположены близко друг к другу, поэтому рассеяние ограничено.

Если бы граница была грубой или сравнимой по длине с длиной волны, результирующее излучение, вероятно, было бы гораздо более сложным, чем две волны. Кроме того, если бы среда была газом или пылью низкой плотности, не было бы ни одной преломленной плоской волны, но излучение было бы более рассеянным во всех направлениях.

Я знаю, что вас не интересуют макроскопические причины, но они являются наиболее надежным объяснением, так как не используют какую-либо конкретную модель среды. Они являются направляющей информацией для использования при настройке и анализе микроскопической модели.

Вышеуказанные условия переводятся в детали микроскопической модели - осцилляторы расположены в полупространстве, они распределены с достаточно высокой однородной плотностью, поэтому взаимные расстояния намного меньше длины волны; их положения ограничены плоской границей.

Я не знаю, как в таких условиях проанализировать взаимодействие многих частиц и ответить на вопрос: почему в макроскопическом описании нет первичной волны и почему преломленная волна имеет другую длину и направление. Часть ответа заключается в том, чтобы найти разумную связь между микроскопическим полем и макроскопическим полем для такого рода моделей, что непросто (у них разные длины волн, и макроскопическое поле должно имитировать силовое поле, с которым сталкиваются осцилляторы).

Но вполне вероятно, что если осцилляторы расположены достаточно близко и имеют одинаковую плотность (равномерный показатель преломления) и возбуждаются одной плоской волной (первичной волной), то элементарные вторичные волны складываются со случайными фазами и стремятся компенсировать друг друга кроме одного направления, где они будут усиливать друг друга.

Это похоже на то, как дифракция на специальных решетках приводит к тому, что излучение передается только в определенных направлениях, или на антенные решетки с фазовой синхронизацией, которые предназначены для излучения в нескольких (единственных) желаемых направлениях.

Как обычно для этих задач, давайте предположим решение, а затем покажем, что оно удовлетворяет уравнениям Максвелла. У нас будет граница раздела вакуума и среды на$x=0$самолет. Электрическое поле принимается равным

$$\vec{E}(\vec{r_{x<0}}, t) = \exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \left\{0, 0, \exp(i k x\cos\theta) + r \exp(-i k x\cos\theta) \right\}$$

т.е. сумма падающей и отраженной волны в вакууме. По другую сторону границы должно быть

$$\vec{E}(\vec{r_{x>0}}, t) = \exp(-i \omega \tau) \left\{0, 0, \exp(i (x k_x + y k_y)\right\}$$

т.е. преломленная волна. Соответствующий$\vec{B}$поля легко найти из$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$.

$$\vec{B}(\vec{r_{x<0}}, t) = \frac{k}{\omega}\exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \times \\ \left\{(\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\sin\theta , (-\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\cos\theta, 0 \right\}$$

$$\vec{B}(\vec{r_{x>0}}, t) = \frac{1}{\omega}\exp(i(k_x x + k_y y - \omega \tau)) \left\{k_y t, k_x t, 0\right\}$$

Сопоставив$\vec{E}$поля в$x=0$мы нашли$t=1+r$и$k_y = k \sin\theta$. Сопоставляя магнитные поля, мы также находим

$$t = \frac{2k\cos\theta}{k_x + k\cos\theta}$$

При некотором рассмотрении мы можем понять, что достигли возможного правильного решения, которое состоит из трех волн и удовлетворяет уравнениям Максвелла. Но почему это должно быть так? Почему мы не можем иметь$r=0, t=1, k_x=k \cos\theta$? Дан падающий волновой вектор (т.е.$\omega/k=c$и$\theta$определено).

Нам нужно связать волновой вектор внутри среды с частотой и свойствами материала. Классический подход говорит, что наша среда представляет собой несколько поляризуемую смесь отрицательных и положительных носителей заряда, которые могут быть смещены электрическим полем, при необходимости с трением и возвращающей силой. Составляя уравнение гармонического осциллятора вместе с двумя уравнениями Максвелла, мы получаем

$$k \vec{P} + \gamma \dot{\vec{P}} + m \ddot{\vec{P}} = q^2 \vec{E}$$

$$-\frac{\partial\vec{B}}{\partial x} = \mu_0 \dot{\vec{P}} + \dot{\vec{E}}/c^2$$

$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial x} = -\dot{\vec{B}}$$

Где$q$- эффективная плотность заряда (зависит от частоты, может быть электронами оболочки, может быть ионами и т. д.),$k, \gamma, m$- эффективная пружина, демпфирование и постоянные массы, нормированные на единицу объема. Нахождение стационарного решения этой системы уравнений даст нам для данного$\omega$волновой вектор, который обычно отличается от$\omega/c$, так$k_x$обычно будет отличаться от$k \cos\theta$и, таким образом, решение для волны, падающей на поверхность, обязательно потребует как преломленной, так и отраженной волны.

Не должно быть слишком сложно воспроизвести эту логику для$p$поляризованная волна.