Почему поля E&M не меняют ориентацию после удара о поверхность?

Практически в каждом выводе уравнений Френеля общая проблема излучения, падающего на поверхность под определенным углом, разбивается на две части (из которых, как мы надеемся, можно построить решение любой общей ситуации):

  1. Падающее электрическое поле s -поляризованное, Падающее магнитное поле p -поляризованное
  2. Падающее электрическое поле p -поляризованное, Падающее магнитное поле s -поляризованное

Вот диаграмма, показывающая эти два общих случая, взятая из этой статьи .

введите описание изображения здесь

Мой вопрос заключается в том, как мы узнаем, в каждом случае (1) или (2), по отдельности, что отраженное и прошедшее поля поляризованы в том же направлении, что и падающее поле? Например, откуда мы знаем, что с инцидентом Е -поле изначально s -поляризованное, как прошедшее, так и отраженное Е -поля тоже будут полностью s -поляризованы?

Граничные условия на границе раздела, похоже, не дают необходимого объяснения тому, почему это так. В качестве примера снова рассмотрим случай (1), когда инцидент Е -поле s -поляризовано. В этом случае граничные условия для Е -field оцениваются на интерфейсе,

(1) ( Е я ) ∥ + ( Е р ) ∥ "=" ( Е т ) ∥

(2) ϵ 1 ( Е я ) ⊥ + ϵ 1 ( Е р ) ⊥ "=" ϵ 2 ( Е т ) ⊥

где в обоих этих уравнениях указано направление относительно произвольного вектора, лежащего на поверхности (т.е. на рисунке вверх перпендикулярно поверхности). В случае падающего s -поляризованного E-поля (т.е. такого, где падающее E-поле параллельно поверхности), уравнения (1) и (2) сводятся к

Е я + ( Е р ) ∥ "=" ( Е т ) ∥

ϵ 1 ( Е р ) ⊥ "=" ϵ 2 ( Е т ) ⊥

Какими рассуждениями мы можем далее вывести направления отраженного и прошедшего полей?

Френель экспериментально изучал поляризованный свет и вывел правила, на которых основаны эти уравнения, из этих исследований: en.wikipedia.org/wiki/… .
@CuriousOne Это интересное чтение, но вы же не говорите, что такой факт является чисто эмпирическим и не может быть получен из уравнений Максвелла, верно? (Френель не имел доступа ни к одному из уравнений Максвелла)
Френель не мог знать уравнений Максвелла, он провел свое исследование где-то на 60 лет раньше. Так что, во всяком случае, можно сказать, что данные Френеля подтверждают и приводят к уравнениям Максвелла, но не наоборот. В общем: все факты в физике эмпиричны. Теория — это просто описание фактов.
@CuriousOne Да, да, хорошо. Итак, мой вопрос: в рамках уравнений Максвелла, которые были разработаны для объяснения всех экспериментальных результатов, связанных с классическими электромагнитными явлениями, как можно вывести этот (на первый взгляд) нетривиальный факт о направлении поляризации прошедшего и отраженного излучения? (относительно направления поляризации падающего излучения)?
Вы решаете их для поляризованных волн... вы просите кого-нибудь воспроизвести для вас главу из учебника?
@CuriousOne О нет, я говорю, что я просмотрел множество выводов уравнений Френеля, как в учебниках, так и в отдельных статьях, и я считаю, что все их методы ошибочны (таким образом, как я изложил в мой вопрос). Повторяя мою первоначальную озабоченность, я не понимаю, как можно по отдельности рассматривать случаи поляризованного излучения s и p так, как это делает приведенная мной картинка. Так как (я думаю), очень вероятно, что я тот, у кого есть недопонимание, я прошу объяснить, что я пренебрегаю (т.е. где я ошибаюсь).
Хорошо, может быть, я неправильно понял ... вы, по сути, спрашиваете, являются ли уравнения Френеля полными, то есть действительны ли они для сред, которые могут изменять поляризацию света или которые демонстрируют двойное лучепреломление? Я не думаю, что это содержится в среднем студенческом учебнике. Вы можете настроить его так, чтобы он правильно обрабатывался (впервые я увидел это в Bergmann-Schaeffer Volume 3 on Optics ( amazon.de/Lehrbuch-Experimentalphysik-Optik-Ludwig-Bergmann/dp/… ), но это своего рода утомительно, если я правильно помню.Не уверен, что полученные уравнения все еще названы в честь Френеля.
В стандартных выводах, которые представляют мои рисунки, предполагается, что отраженные и прошедшие поля для s -поляризованного падающего поля также являются s -поляризованными. Я спрашиваю, как они могут предположить это. Возможно, ответ вызывает концепцию двойного лучепреломления, но я не думаю, что это так.
Я бы сказал, что это предположение справедливо только для материалов, не обладающих двойным лучепреломлением, и для материалов, которые вообще не меняют поляризацию (например, поглощающие поляризаторы). Существует множество материалов, таких как кварц, которые будут смешивать два компонента, так что вам придется смотреть на поверхностные члены, которые смешивают две поляризации на отражающей поверхности, и объемные члены, которые медленно меняют поляризацию по мере того, как волна проходит в среде. Полученные уравнения сложны, и в большинстве учебников они не упоминаются. Извините, что у меня нет времени, чтобы найти точные ссылки для вас.
@CuriousOne А, хорошо, спасибо. В этом есть смысл. Однако довольно любопытно, почему в каждом стандартном выводе, который я видел, автор(ы) полностью опускал его, даже не предлагая пару предложений для обоснования.
@ArturodonJuan На 2-м изображении отраженная волна имеет вектор поляризации электрического поля слева, а не справа. Любая идея, почему это так? И вообще, как это решить?
@far.westerner Е → × ЧАС → ∝ к → , где к → - волновой вектор, задающий направление распространения. Если Е → был с другой стороны, Е → × ЧАС → ∝ − к → что неверно.
@ArturodonJuan Откуда мы знаем, что после отражения магнитное поле направлено за пределы страницы, а до отражения оно было направлено на страницу?
@far.westerner Извините за очень поздний ответ. Я считаю, что все, что имеет значение, это ориентация Е → относительно ЧАС → чтобы дать Е → × ЧАС → ∝ к → . В общем, эти волны колеблются, поэтому в какой-то момент вы можете ЧАС → указывая на страницу (и Е → ориентируясь на моей второй картинке), а на другой у вас может быть наоборот (с Е → имеет противоположную ориентацию).

Ответы (3)

Есть простой ответ: Симметрия.

Предположим, что материал изотропен, и рассмотрим начальные условия p-поляризованного случая, когда p-поляризованная световая волна вот-вот упадет на поверхность. В этом случае отражение в плоскости, содержащей падающий и рассеянный волновые векторы, оставляет неизменными как (векторное) электрическое поле, так и (псевдовекторное) магнитное поле. Вы можете подумать, что отражение в этой плоскости изменит направление магнитного поля на противоположное, но поскольку магнитное поле представляет собой псевдовектор, направление которого задается произвольно по правилу правой руки, в преобразовании зеркального отражения присутствует дополнительный знак минус. В результате получается физически эквивалентная ситуация, которая по-прежнему удовлетворяет уравнениям Максвелла, с правильным направлением движения во времени и правильно зафиксированным правилом правой руки.

Таким образом, начальные условия имеют зеркальную симметрию в этой плоскости, а уравнения эволюции во времени (уравнения Максвелла) имеют зеркальную симметрию в этой плоскости, поэтому результат должен иметь такую ​​же симметрию. Поэтому отраженная волна должна быть p-поляризованной.

Вот еще один способ подумать об этом: если вы посылаете p-поляризованную волну и получаете s-поляризованную компоненту, как физика решает, должно ли электрическое поле первоначально двигаться влево или вправо? Точнее: выберите точку во времени и пространстве, где падающая волна достигает поверхности с максимальной z-компонентой электрического поля. Либо электрическое поле для s-поляризованной компоненты рассеянной волны отлично от нуля в этой точке и, следовательно, должно быть либо в направлении +y, либо в направлении -y, либо поле равно нулю, а его производная по времени отлична от нуля, поэтому время производная либо в +y, либо в -y направлении. Но в физике нет ничего, что могло бы решить, какой из этих двух случаев (+y или -y) получится. И если мы придем к выводу, что это должен быть один из них, и повторим анализ зеркального отображения того же эксперимента (который, как мы мы уже видели, идентичен исходному эксперименту), то получаем противоположный ответ. Таким образом, либо уравнения Максвелла допускают два различных решения (что, как мы знаем из различных соотношений единственности, быть не должно), либо s-поляризованная компонента имеет абсолютно нулевую величину.

Точно так же предположим, что мы начинаем с s-поляризации и снова выясняем, как будет выглядеть поле в зеркале. Электрическое поле теперь меняет знак при зеркальном отражении, как и магнитное поле (опять же из-за лишнего знака минус, возникающего из-за псевдовекторной природы магнитного поля), и мы имеем точно такую ​​же ситуацию, но с дополнительным знаком минус. Аналогичный аргумент говорит нам, что s-поляризованная падающая волна не может породить p-поляризованную отраженную волну.

Подводя итог, используя немного более технический язык: отражение в плоскости xz не влияет на p-поляризованный свет. Таким образом, начальные условия имеют то, что называется «четностью по четности» при этой операции симметрии.

Отражение в плоскости xz не влияет на s-поляризованный свет, за исключением умножения на знак минус. Начальные условия в этом случае имеют «нечетность».

Уравнения движения, уравнения Максвелла, симметричны относительно зеркальных отражений (опять же, если мы понимаем этот дополнительный знак минус для магнитного поля). Итак, по теореме Нётер четность сохраняется. Входные состояния с четной четностью могут порождать только выходные состояния с четной четностью, и наоборот.

Итак, вы теперь знаете из общих принципов, что результат должен сохраняться. Но что, если вы хотите проверить это в деталях? Что ж, есть и достаточно простой способ сделать это. Вы можете добавить в анализ дополнительную отраженную волну другой поляризации. Так, например, вы можете создать задачу, где у вас есть падающая p-поляризованная волна, отраженная p-поляризованная волна, преломленная p-поляризованная волна и две дополнительные волны, которых нет в исходной задаче: отраженная s-поляризованная волна и преломленная s-поляризованная волна. Затем вы приступите к решению проблемы так же, как и раньше. Если вы проверите алгебру, вы обнаружите, что амплитуды s-поляризованных компонентов должны быть равны нулю. Просто не будет способа, чтобы они одновременно согласовывали граничные условия во всех точках пространства и времени без добавления дополнительного инцидента .s-поляризованная волна, которая обманывает, потому что вы меняете начальные условия. На самом деле, вы можете пойти дальше и выполнить это упражнение, чтобы точно понять, почему оно не работает. В какой-то момент вы обнаружите, что если у вас есть совпадение амплитуды s-волны во всех точках пространства для данного момента времени, то все производные по времени имеют неправильные знаки, чтобы совпадать в ближайшие моменты времени. И наоборот: если вы сопоставите производные по времени, амплитуды будут иметь неправильные знаки. И просто невозможно совместить фазовые факторы; всегда будет знак минус, который не исчезнет. Вот как нарушение четности проявляется в алгебре. Выполнив это упражнение, вы, возможно, лучше поймете, почему симметрия в целом должна работать таким образом.

Наконец, мы подошли к двулучепреломлению. Почему двойное лучепреломление может смешивать s- и p-поляризации? Просто: потому что двулучепреломляющий материал в целом нарушает зеркально-плоскостную симметрию. Конечно, будут способы разрезать поверхность и определить направление падения, при котором физическая ситуация по-прежнему будет иметь чисто-четную или чисто-нечетную четность, но для случайного разреза и случайного направления падения, как правило, этого не будет. Физическая ситуация будет иметь так называемую «смешанную четность», и именно это позволяет вам смешивать компоненты s и p, не нарушая теоремы Нётер.

Это чрезвычайно важный принцип в физике. Когда вы привыкнете к законам симметрии, вы сможете пропускать огромные части сложных выводов, просто вычеркивая термины, которые «очевидно» равны нулю, потому что они имеют неправильную симметрию. Вы знаете, как в физике-первокурснике вы часто можете пропустить множество деталей расчета, потому что знаете, что, скажем, импульс должен сохраняться? Это точно то же самое, только более общее. Особенно, когда вы вникаете в квантовую механику, это действительно большое дело.

Определение s-поляризованного света состоит в том, что электрическое поле поляризовано так, что оно перпендикулярно плоскости падения . Там, где есть зеркальное отражение, плоскость падения содержит k-вектор падающей волны и отраженной волны.

Так как электрическое поле ЭМ волны должно быть перпендикулярно k-вектору. Это оставляет возможность того, что у вас есть компонент отраженного E-поля, который является p-поляризованным (как на второй диаграмме).

Так как тангенциальная составляющая электрического поля должна быть непрерывной по всей границе, и это соотношение должно применяться к составляющим электрического поля, перпендикулярным плоскости диаграммы (плоскости падения) и касательным к границе в плоскости падения , то если назвать p-поляризованную составляющую отраженной волны Е п , р и соответствующая (и необходимая) составляющая в прошедшей волне Е п , т , то мы знаем, что

(1) Е п , р потому что ⁡ θ р "=" Е п , т потому что ⁡ θ т
и поскольку s-поляризованные компоненты не имеют вклада перпендикулярно интерфейсу, мы знаем, что
(2) ϵ 1 Е п , р грех ⁡ θ р "=" ϵ 2 Е п , т грех ⁡ θ т .

Это образует полную отдельную и независимую пару уравнений от тех, которые определяют взаимосвязь между углом падения и углом отражения с использованием s-поляризованных компонентов. Поэтому мы уже знаем из них и стандартного вывода, что θ я "=" θ р и что ϵ 1 2 грех ⁡ θ р "=" ϵ 2 2 грех ⁡ θ т (закон Снеллиуса для немагнитных сред).

Таким образом, используя закон Снеллиуса и уравнение (2), мы можем вывести, что

(3) ϵ 2 Е п , р "=" ϵ 1 Е п , т
и если ϵ 2 > ϵ 1 , затем Е п , р < Е п , т .

Подставляя закон Снеллиуса в уравнение (1) и используя потому что ⁡ θ "=" ( 1 − грех 2 ⁡ θ ) 1 / 2 можно показать, что

(4) Е п , р 2 "=" Е п , т 2 [ 1 − грех 2 ⁡ θ т 1 − ( ϵ 2 / ϵ 1 ) 4 грех 2 ⁡ θ т ]
Но в этом случае, если ϵ 2 > ϵ 1 , Мы видим, что Е п , р > Е п , т поэтому нет одновременного решения уравнений (3) и (4), кроме Е п , р "=" Е п , т "=" 0 , для любого реального значения θ т .

Я уверен, что должен быть более элегантный способ показать это.

Взглянув на это еще раз (спустя почти два года), у меня есть несколько замечаний: (A) я думаю, что в вашем последнем уравнении должно быть ( ϵ 2 / ϵ 1 ) , без четвертой степени. (B) Для полноты картины я считаю, что ваше последнее уравнение должно быть помечено как eq. (4). (C) Как правило, эти значения поля Е п , р и Е п , т могут быть сложными, и в этом случае они будут представлять эллиптически поляризованный свет. Не то чтобы это опровергало все, что вы сказали, просто думаю, что ваши аргументы должны подчеркивать, что уравнения (3) и (4) не могут одновременно удовлетворяться какой-либо парой Е п , р и Е п , т .

Вот простое объяснение, основанное на диполярной природе среды:

Для большинства материалов можно предположить, что источником отраженных и преломленных волн являются индуцированные крошечные диполи в диэлектрической среде. В изотропной среде вектор поляризации пропорционален (полному) вектору электрического поля с константой (в отличие от тензора для анизотропных сред). Поэтому они всегда в одном направлении. Кроме того, излучение диполя в дальней зоне поляризовано в том же направлении, что и вектор дипольного момента и, следовательно, падающая (возбуждающая) волна.

Следовательно, если материал изотропен, поляризация отраженной и преломленной волн такая же, как и у падающей волны. В общем случае это неверно для двулучепреломляющих кристаллов, для которых направление индуцированной поляризации может не совпадать с направлением падающего электрического поля.

Почему поля E&M не меняют ориентацию после удара о поверхность?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v