Как мы докажем, что 4-ток jµjµj ^ \ mu преобразуется как xµxµx ^ \ mu при преобразовании Лоренца?

$\color{blue}{\textbf{ANSWER B}}\:$ (на основе ковариации уравнений Мокселла относительно преобразований Лоренца)

Пусть величины

$$\begin{equation} \mathbf{E}=\left(E_x,E_y,E_z\right), \quad \mathbf{B}=\left(B_x,B_y,B_z\right), \quad \mathbf{j}=\left(j_x,j_y,j_z\right), \quad \rho \nonumber \end{equation}$$ удовлетворяющие уравнениям Максвелла в пустом пространстве в инерциальной системе $\:\mathrm S$: $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ Если мы применим 1 + 1-мерное преобразование Лоренца: $$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ для конфигурации систем $\:\mathrm S\:$ а также $\:\mathrm S'\:$как на рисунке 01, то следующие обозначенные штриховкой величины $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c}\\ B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c}\\ j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c}\\ \rho' & = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{align}$$ удовлетворяют штриховым уравнениям Максвелла в системе $\:\mathrm S'\:$ $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} & = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} & = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} & = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} & = 0 \tag{13} \end{align}$$ Сравнивая систему уравнений (24), (18) с (02), заключаем, что вектор плотности зарядового тока $\:\mathbf{J}=\left(c\rho,\mathbf{j}\right)\:$ преобразуется как вектор положения в пространстве-времени $\:\mathbf{X}=\left(ct,\mathbf{x}\right)$.

Так $\:\mathbf{J}\:$ является 4-вектором.

---

Итак, в предположении ковариантности уравнений Максвелла мы можем доказать, что плотность 4-тока заряда является 4-вектором Лоренца, и на основании этого мы доказываем инвариантность заряда, см. Мой ответ здесь: Почему заряд является лоренц-инвариантным, но релятивистским. массы нет?

---

Доступен в $\LaTeX$ 3 + 1-мерная версия этого ответа.

---

^{Доказательство :}

^{Дифференциальные уравнения Максвелла электромагнитного поля в пустом пространстве имеют вид}

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ куда $\: \mathbf{E} =$ вектор напряженности электрического поля, $\:\mathbf{B}=$ вектор плотности магнитного потока, $\:\rho=$ плотность электрического заряда, $\:\mathbf{j} =$вектор плотности электрического тока. Все величины являются функциями трех пространственных координат $\:\left( x,y,z\right)\:$ и время $\:t$.

^{Мы применим к ним следующее преобразование Лоренца, и мы должны определить новые переменные $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'},\rho'\:$так, чтобы форма уравнений (01) оставалась неизменной (ковариантной) в новой системе отсчета. Из определения нового текущего 4-вектора мы докажем, что это 4-вектор Лоренца. Итак, пусть обычная конфигурация двух систем$\:\mathrm S,\mathrm S'\:$ последний движется относительно первого со скоростью $\:\upsilon \in (-c,c)\:$ вдоль общей оси $\:x$см. Рисунок 01.
Уравнения преобразования Лоренца:}

$$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ ^{Теперь мы должны выразить частные производные по пространственно-временным переменным $\:(x,y,z,t)\:$ в терминах частных производных по пространственно-временным переменным $\:(x',y',z',t')$. Из (02) имеем $$\begin{align} \dfrac{\partial \hphantom{x}}{\partial x} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial x\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial x\hphantom{'}}=\gamma\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03a}\\ \dfrac{\partial \hphantom{y}}{\partial y} & = \dfrac{\partial \hphantom{y'}}{\partial y'} \tag{03b}\\ \dfrac{\partial \hphantom{z}}{\partial z} & = \dfrac{\partial \hphantom{z'}}{\partial z'} \tag{03c}\\ \dfrac{\partial \hphantom{t}}{\partial t} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial t\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial t\hphantom{'}}=\boldsymbol{-}\gamma\upsilon\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03d} \end{align}$$ Начиная с уравнения Максвелла (01a), имеем $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{04} \end{equation}$$ и используя соотношения частных производных (03) $$\begin{align} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} &=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05a}\\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05b}\\ \gamma\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05c} \end{align}$$ С уравнением Максвелла (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z}=\mu_{0}j_{x} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x}=\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y}=\mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{06} \end{equation}$$ и поэтому $$\begin{align} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z'} &=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07a}\\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'} & = \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07b}\\ \gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y'}&=\mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07c} \end{align}$$ Продолжая с (01c) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} \tag{08} \end{equation}$$ и, наконец, с (01d) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} =0 \Longrightarrow \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z}&=0\Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z} & =0 \Longrightarrow \nonumber \end{align}$$ то есть $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} \tag{09} \end{equation}$$ Теперь, используя восемь (8) скалярных уравнений (05), (07), (08) и (09), мы должны попытаться определить 10 скалярных величин со штрихом - компоненты $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$ и скаляр $\:\rho'\:$- в терминах без штриха таким образом, чтобы получить уравнения Максвелла со штрихом. Начнем с уравнения (08). Это кандидат в уравнение Максвелла $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10} \end{equation}$$ Проблема в том, что уравнение (10) имеет частные производные по $\:(x',y',z')\:$ но не в отношении $\:t'\:$как и (08). Но мы видим, что эта частная производная по$\:t'\:$ в правой части (08) можно выразить через частные производные по $\:(x',y',z')\:$из уравнения (07a). Точнее из (07а) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} =\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \tag{11} \end{equation}$$ Подставляя это выражение в (08), получаем $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \nonumber \end{equation}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z})\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B_{y})\right]}{\partial z'} = \frac{\gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr)}{\epsilon_{0}} \tag{12} \end{equation}$$ Продолжим с (09). Это кандидат в уравнение Максвелла $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} =0 \tag{13} \end{equation}$$ Из (05а) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \tag{14} \end{equation}$$ Подставляя это выражение в (09), получаем $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \nonumber \end{equation}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr)\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr)\right]}{\partial z'} = 0 \tag{15} \end{equation}$$ Из уравнений (12) и (15) кажется, что до сих пор было бы неплохо определить семь (7) скалярных величин со штрихом - составляющих $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$ и скаляр $\:\rho'\:$- в терминах безштрихованных $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c} \end{align}$$ $$\begin{align} B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c} \end{align}$$ и $$\begin{equation} \rho' = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{equation}$$ Осталось определить остальные три (3) скалярные величины со штрихами - компоненты $\:\mathbf{j'}$- и проверить, согласуются ли все эти определенные со штрихами величины, чтобы преобразовать уравнения (05) и (07) в версии уравнений Максвелла (01a) и (01b) со штрихами соответственно. Если мы представим шесть (6) скалярных уравнений (16), (17) как линейную систему с 6 «неизвестными», величины без штриха$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$то, решая по ним, имеем $$\begin{align} E_{x} & = E'_{x} \tag{19a}\\ E_{y} & = \gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right) \tag{19b}\\ E_{z} & = \gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right) \tag{19c} \end{align}$$ $$\begin{align} B_{x} & = B'_{x} \tag{20a}\\ B_{y} & = \gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr) \tag{20b}\\ B_{z} & = \gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr) \tag{20c} \end{align}$$ Заменив их в (05a), получим $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial z'} =\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial t'} \quad \stackrel{(15) ,(17)}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \upsilon\underbrace{\left(\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial z'}\right)}_{0} \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \tag{21a} \end{equation}$$ Заменив их в (05b), получим $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'} \quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'}=\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'} \tag{21b} \end{equation}$$ и, наконец, заменив их в (05c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'}=\boldsymbol{-} \gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \tag{21c} \end{equation}$$ Уравнения (21a), (21b) и (21c) являются доказательством того, что штрихованные векторы $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$(16), (17) удовлетворяют штрихованной версии уравнения Максвелла (01a) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22} \end{equation}$$ Продолжим теперь уравнение (01b). Замена в (07a) незаштрихованных количеств$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$ по их выражениям (19), (20) имеем $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial z'} = \nonumber\\ &\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ & \gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}} \underbrace{\left(\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial z'}\right)}_{(18) :\: \tfrac{\rho'}{\epsilon_{0}} \stackrel{(18)}{=\!=} \tfrac{\gamma}{\epsilon_{0}}\bigl(\rho \boldsymbol{-}\tfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\bigr)} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon}{\epsilon_{0}c^{2}} \Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad \stackrel{\epsilon_{0}c^{2}=\mu_{0}^{-1}}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon^{2}}{c^{2}}\right)j_{x}\boldsymbol{-}\mu_{0}\gamma^{2} \upsilon \rho \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}=\mu_{0}\bigl[\gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \bigr]\boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'} \tag{23a} \end{equation}$$ Замена в (07b) $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'} = \vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber\\ & \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial x'}= \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z'}}{\partial x'} =\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \tag{23b} \end{equation}$$ Замена в (07c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ & \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'}= \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ так что $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'} = \mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \tag{23c} \end{equation}$$ Если помимо определений (16), (17) и (18), определим также $$\begin{align} j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c} \end{align}$$ то уравнения (23a), (23b) и (23c) являются доказательством того, что штрихованные векторы $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$(16), (17) и (24) удовлетворяют штрихованной версии уравнения Максвелла (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25} \end{equation}$$}

$\color{blue}{\textbf{ANSWER A}}\:$ (на основе инвариантности заряда, абзац взят из Ландау)

Ответ дается в комментарии ACuriousMind, на что также указывает WetSavannaAnimal, он же Род Вэнс. Просто привожу детали, скопированные из «Классической теории поля» , Л.Д.Ландау и Э.М.Лифшица, четвертое исправленное английское издание:

$\boldsymbol{\S}\: \textbf{28. The four-dimensional current vector}$

Вместо того, чтобы рассматривать заряды как точки, для математического удобства мы часто считаем, что они непрерывно распределены в пространстве. Тогда мы можем ввести «плотность заряда»$\:\varrho\:$ такой, что $\:\varrho dV\:$ это заряд, содержащийся в томе $\: dV$. Плотность$\:\varrho\:$в общем случае является функцией координат и времени. Интеграл$\:\varrho\:$ над определенным объемом - это заряд, содержащийся в этом объеме .......

....... Заряд частицы по самому своему определению является инвариантной величиной, то есть не зависит от выбора системы отсчета. С другой стороны, плотность$\:\varrho\:$ обычно не инвариант - только продукт $\:\varrho dV\:$ инвариантен.

Умножая равенство $\:de=\varrho dV\:$ с обеих сторон с $\:dx^{i}\:$:

$$\begin{equation} de\,dx^{i}=\varrho dVdx^{i}=\varrho dVdt\dfrac{dx^{i}}{dt} \nonumber \end{equation}$$ Слева стоит четырехвектор (поскольку $\:de\:$ является скаляром и $\:dx^{i}\:$является четырехвекторным). Это означает, что правая часть должна быть четырехвекторной. Но $\: dVdt\:$является скаляром ⁽¹⁾ , поэтому $\:\varrho dx^{i}/dt\:$ является четырехвектором. Этот вектор (обозначим его $\:j^{i}$) называется текущим четырехвектором : $$\begin{equation} j^{i}=\varrho \dfrac{dx^{i}}{dt}. \tag{28.2} \end{equation}$$

Пространственные компоненты этого вектора образуют вектор плотности тока ,

$$\begin{equation} \mathbf{j}=\varrho \mathbf{v}, \tag{28.3} \end{equation}$$
куда $\:\mathbf{v}\:$- скорость заряда в данной точке. Компонент времени четырехвектора (28.2) равен $\:c\varrho$. Таким образом, $$\begin{equation} j^{i}=\left(c\varrho ,\mathbf{j}\right) \tag{28.4} \end{equation}$$

---

^{(1) Примечание Фробениуса:}

$$\begin{equation} dVd(ct)=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{01} \end{equation}$$ Теперь для связи между бесконечно малыми 4-объемами в пространстве Минковского $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{4}} \end{vmatrix} dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{02} \end{equation}$$ куда $\:\left\vert\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)/\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)\right\vert\:$Якобиан, то есть определитель матрицы Якоби. Но матрица Якоби - это матрица Лоренца $\:\Lambda\:$ с участием $\:\det(\Lambda)=+1$, то есть $$\begin{equation} \left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert=\det(\Lambda)=+1 \tag{03} \end{equation}$$ поэтому $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\text{scalar invariant} \tag{04} \end{equation}$$

Я думаю, что отправной точкой для этого является изучение того, как $j^\mu$определено. В отсутствие зарядов действие ЭМ определяется выражением

$$S= \int d^4 x F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

где $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$что происходит из-за калибровочной инвариантности. Уравнение движения:

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} =0$$

а введение зарядов означает, что по лоренцевой ковариации единственная возможность

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} = j^\nu$$

Тогда запись всего в терминах электро-магнитных полей, зарядов и токов даст желаемое соотношение. Я думаю, что одна двусмысленность была бы в $A_\mu = ( \pm \Phi,\vec A)$и выбор должен быть сделан, и поскольку лагранжиан имеет $A_\mu j^\mu$. Здесь нужно было бы обратиться к какой-то физической идее, подобной упомянутой выше Прахару.

Плотность заряда $\rho$и плотность тока $\mathbf j$подчиняться уравнениям Максвелла во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что в каждой инерциальной системе отсчета 4-кортеж плотности тока подчиняется одному и тому же соотношению; в исходной системе отсчета имеем

$$(c\rho,\mathbf j) = (c\epsilon_0\nabla\cdot \mathbf E,\nabla\times\mathbf B/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t \mathbf E).$$ а в системе со штрихом, движущейся относительно первой, имеем $$(c\rho',\mathbf j') = (c\epsilon_0\nabla'\cdot \mathbf E',\nabla'\times\mathbf B'/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t' \mathbf E').$$

Мы можем выразить поля $\mathbf E',\mathbf B'$операции $\partial_t',\nabla'$в правой части с f $\mathbf E,\mathbf B$и операции $\partial_t,\nabla$, используя формулы преобразования для полей $\mathbf E,\mathbf B$ в релятивистской теории$^*$. Когда это будет сделано, можно сделать вывод, что 4-кортеж преобразуется как 4-вектор. Этот метод доказательства утомителен, но весьма убедителен.

$^*$Они следуют из общего релятивистского преобразования 3-силы в релятивистской механике; см. ответ Фробениуса, формула 11, здесь:

https://physics.stackexchange.com/a/411129/31895

или статью https://arxiv.org/abs/physics/0507099 . При применении к формуле Лоренца, которая определяет электрическое и магнитное поле в каждой инерциальной системе координат:

$$\mathbf F =q\mathbf E + q\mathbf v\times\mathbf B.$$ мы можем получить формулы преобразования для полей.

Более простой (но менее убедительный) способ доказать $j$является четырехвекторным: из уравнений Максвелла следует

$$j^\mu = \partial_\nu F^{\nu\mu}.$$ Поскольку $F^{\nu\mu}$ является четырехтензорным $^{**}$, выражение $\partial_\nu F^{\nu\mu}$ определяет четырехмерный тензор.

$^{**}$Это следует из определения $F$- антисимметричный тензор, компоненты которого формируются из компонентов электрического и магнитного полей, - и формулы преобразования для этих полей, упомянутых выше. В качестве альтернативы, если мы примем универсальное уравнение движения пробной частицы в электромагнитном поле для каждого кадра и каждой четырехскоростной

$$qF^{\nu\mu}u_\mu = m\,du^\nu/d\tau$$ кажется, что $F$должен быть четырехтензорным. Все кроме - $F$величины преобразуются как четырехтензоры ( $q,m,\tau$инвариантны, $u$является 4-вектором по определению), поэтому $F^{\nu\mu}u_\mu$является четырехтензорным. Тогда вполне вероятно, что $F$ в этом выражении тоже четырех-тензорный (это проблемная часть - как убедиться, что F здесь должен быть тензорным?).

Вместо того, чтобы приближаться с полей ( $F^{\mu\nu}$, $A^\mu$и др.), можно предложить более прямой подход, исходя из материи.

Фактически плотность заряда $\rho (t, x^i )$и плотность тока $J^i (t, x^i )$для точечного заряда $q$заряд движется со скоростью $V^i (t) = \frac{d}{dt} w^i (t)$ является

$$\rho (t, x^i) = q \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$ $$J^i (t,x^i) = q V^i (t) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$

и мы можем объединить их и написать как

$$J^\mu (t, x^i) = q \left( 1, V^i (t) \right) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t)),$$

где $\mu = 0, \ 1, \ 2, \ 3$и $i = 1, \ 2,\ 3$.

Теперь обратите внимание, что если мы повторно параметризуем положение частицы в пространстве-времени на собственное время ( $t = t(\tau) := w^0 (\tau)$и $w^i = w^i(\tau)$),

$$J^\mu (x^\mu) = q \int d \tau \ u^\mu (\tau) \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) \cdots (\ast)$$

$$\left( \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) = \delta(t - w^0(\tau) ) \delta^{(3)}(x^i - w^i(\tau)) \right),$$

где $\tau$и $u^\mu = \frac{d}{d\tau} w^\mu = \frac{dt}{d\tau} ( 1, V^i )$ - собственное время и 4-скорость точечного заряда соответственно.

(Это уравнение вводится не только в текстах по теории относительности, но и в книгах по электромагнетизму (например, Джексон, глава 12).)

Обратите внимание, что из этого выражения, очевидно, видно, что $J^\mu$преобразуется как $u^\mu$что является контравариантной величиной ( $u^\mu = dx^\mu/d\tau$и $dx^\mu$по определению контравариантно и $d\tau$лоренц-инвариант). Это может быть ответ на ваш вопрос. Физически (или геометрически) уравнение $(\ast)$дает картину «распределения заряда и тока для заряженной частицы как суперпозиции зарядов, которые на мгновение вспыхивают, а затем исчезают». (Misner, Thorne, Wheeler: 120-121) 4-ток - это просто поток «электромагнитного существования», поэтому вполне вероятно, что $J^\mu$следует трансформирующим свойствам $u^\mu$.

Для непрерывных распределений мы просто опускаем интеграл и дельта-функцию в уравнении $(\ast)$ и "продолжить" его:

$$J^\mu = \varrho u^\mu ,$$

где $\varrho$является лоренц-инвариантной плотностью заряда ("непрерывно преобразованный $q$") -плотность заряда, видимая в (мгновенно движущейся) системе покоя.

Очевидно, что $J^\mu$просто кратно $u^\mu$, что является контрвариантной величиной. Таким образом, $J^\mu$контравариантно, т.е. "преобразуется как $dx^\mu$ при преобразовании Лоренца ".

Вы можете взять за отправную точку сохранение заряда. Это можно записать как:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \partial_{i} j^i = \nabla\cdot \vec{J}$$

Поскольку это экспериментальный факт, это хорошая отправная точка. Вышеупомянутое уравнение теперь можно переписать в «более» ковариантной формулировке как:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

Из этого уравнения вы можете ясно вывести, что $j^\mu$должен преобразоваться как $x^\mu$.