Принцип относительности и точечная частица в электромагнитном поле

Приравнивание релятивистской версии 2-го закона Ньютона к силе Лоренца

г г т ( γ ты м ты ) "=" д ( Е + ты × Б )
мы можем видеть, что точечная частица (массы м и заряжать д ) в электромагнитном поле ( Е , Б ) имеет ускорение
а "=" д γ ты м [ Е + ты × Б − ( Е ⋅ ты ) ты с 2 ]
где я не использую ни четырехвекторный формализм, которого не знаю (я говорю об обычном ускорении), ни единицы Гаусса. Давайте рассмотрим обычное С ′ системы (в движении со скоростью в к положительному Икс ). Преобразования Лоренца дают
ты ′ "=" ( ты Икс − в 1 − ты Икс в с 2 , ты у γ ( 1 − ты Икс в с 2 ) , ты г γ ( 1 − ты Икс в с 2 ) )
( γ ты относительно скорости частицы в С не следует путать с γ относительно скорости С ′ ), откуда по измерениям S' получаем гамма-фактор частицы. После многих упрощений получаем
γ ты ′ "=" 1 1 − ты ′ 2 с 2 "=" γ γ ты ( 1 − β ты Икс β )
где γ "=" 1 1 − β 2 , γ ты "=" 1 1 − β ты 2 , β "=" в с , β ты "=" ты с и β ты Икс "=" ты Икс с . Но
Е ′ "=" ( Е Икс , γ ( Е у − в Б г ) , γ ( Е г + в Б у ) )
Б ′ "=" ( Б Икс , γ ( Б у + в с 2 Е г ) , γ ( Б г − в с 2 Е у ) )
Теперь я ожидаю, что если С ′ расчетное ускорение с помощью силы Лоренца с измеренными им скоростью и полями, он должен найти ускорение С преобразуется с помощью преобразований Лоренца, например, для Икс компонент дает а Икс ′ "=" а Икс γ 3 ( 1 − β ты Икс β ) 3 . Но д м "=" д ′ м ′ , так Икс компоненты С и С ′ должно быть связано (я использую индекс Икс обозначать Икс компонент вектора в квадратных скобках)
1 γ ты ′ [ Е ′ + ты ′ × Б ′ − ( Е ′ ⋅ ты ′ ) ты ′ с 2 ] Икс "=" 1 γ 3 ( 1 − β ты Икс β ) 3 1 γ ты [ Е + ты × Б − ( Е ⋅ ты ) ты с 2 ] Икс
который может быть организован таким образом
γ 2 ( 1 − β ты Икс β ) 2   [ Е ′ + ты ′ × Б ′ − ( Е ′ ⋅ ты ′ ) ты ′ с 2 ] Икс "="   [ Е + ты × Б − ( Е ⋅ ты ) ты с 2 ] Икс
Замена γ , β , β ты Икс и числа, написанные выше, я ожидаю найти тождество, но это не работает: что здесь пошло не так?

Ответы (2)

Преобразования Лоренца предназначены для связывания свойств частицы в двух разных инерциальных системах отсчета. Когда вы пытаетесь сделать преобразование в не промежуточный кадр, например, когда коэффициент Лоренца γ "=" 1 1 − в 2 / с 2 становится зависимым от времени с в "=" в ( т ) затем

Λ       ν мю г 2 г т 2 Икс ν ≠ г 2 г т 2 ( Λ       ν мю   Икс ν )

Если вы преобразуете свои поля E и B с помощью γ "=" γ ( т ) , вы вычисляете ускорение в S, а затем преобразуете его в S' (левая часть). Это означает, что вы вычисляете мгновенное ускорение, измеренное наблюдателем в инерциальной системе отсчета в тот единственный момент времени, когда частица и наблюдатель в S движутся с одинаковой скоростью. Строго говоря, это ускорение измеряется не относительно частицы, а относительно другого наблюдателя, находящегося в инерциальной системе отсчета.

Если вы используете правую часть и приравниваете ее к преобразованной силе Лоренца, вы вводите так называемые фиктивные силы , которые вы должны знать из ньютоновской механики, например, центробежные силы. Это самое близкое, что вы можете получить с помощью специальной теории относительности при описании системы отсчета, которая движется вместе с ускоренной частицей.

Движение частицы является родовым, но S и S' являются инерциальными системами отсчета (возможно, я не совсем ясно выразился, но наблюдатель в движении с частицей отсутствует). Я не понимаю вашей формулы: я не знаю тензорного исчисления (рано или поздно я его изучу, но в любом случае я сильно не люблю 4-векторный формализм, они мне не нравятся, и я хотел бы решить проблема без их использования). Я просто ищу «доказательство» (так сказать) релятивистской версии 2-го закона Ньютона (насколько я знаю, впервые написанного Планком). Способ сказать: «Вот почему вставить здесь гамма-фактор — хорошая идея!».
@FaustoVezzaro: классическим аналогом будет матрица вращения, зависящая от времени. р ( т ) затем р ( т ) г 2 г т 2 Икс → "=" р ( т ) Ф → отличается от г 2 г т 2 ( р ( т ) Икс → ) "=" р ( т ) Ф → . Второе уравнение — это то, как будет выглядеть «ускоренный» кадр. 1-й для многих инерциальных систем отсчета (по одной для каждого t). Если вы преобразуете (E,B) и приравняете его к а → ′ ты делаешь что-л. аналогично первому уравнению. Если вы преобразуете (E, B) и используете второе уравнение, вы получите другой результат для а → ′ "=" р ( т ) г 2 г т 2 Икс →
@FaustoVezzaro: Проще говоря: для непостоянных преобразований дифференцирование и преобразование не коммутируют. Таким образом, обычными формулами для преобразования ускорения являются формулы для 1-го уравнения моего комментария выше. Я ожидаю, что когда вы пишете: «Теперь я ожидаю, что если S 'исчисление ускорения», вы на самом деле используете 2-е уравнение и устанавливаете а → ′ "=" р ( т ) а → (по аналогии с моим комментарием выше).
В эти выходные я нашел ответ: просто неправда, что окончательное уравнение не работает: оно работает. Мне стыдно (в свое оправдание я говорю, что неправильное исчисление связано с ошибкой в ​​​​программном обеспечении wxMaxima, мне пришлось решать эти очень долгие расчеты с ручкой на бумаге ...!), но в то же время я счастлив, что показал оригинальный путь к релятивистскому 2-му закону Ньютона (путь очень длинный по исчислению, но простой по понятиям: Планк использовал лагранжианы и другие инструменты, которые я не могу понять в этом конкурсе). Теперь я спрашиваю модератора, нужно ли оставить этот ответ или удалить: я решил свою проблему, и для меня то же самое.
@FaustoVezzaro: Рад слышать, что вы решили свой вопрос. Вы можете написать ответ на свой вопрос, например, подробно объяснить, чем эти два термина идентичны и т. д.
Вы были единственным, кто ответил, и я действительно благодарю вас за ваш интерес, но я боюсь, что мы не на одной волне, мы думаем по-разному, я не понял ваш ответ и, вероятно, вы не поняли мой вопрос, в котором я вычисляю а Икс ′ оба трансформируются а Икс и используя С ′ измерения и снова первое уравнение (может быть, мой уродливый английский не помогает в этом смысле). Эти два способа дают одинаковые результаты, поэтому первое уравнение согласуется с преобразованием Лоренца. В любом случае, я пишу ответ.
@FaustoVezzaro: вам могут не нравиться 4-векторы, но специальная теория относительности, в конечном счете, является теорией 4-векторов, и вы можете вечно путаться в миллионе терминов в этих разложениях (и подвергать себя таким тонкостям, как те, что в этом ответе), или вы можете просто научиться работать с 4-векторами, которые в конечном итоге являются той же математикой, что и для 3-векторов, только с другим скалярным произведением. Вы потратите на несколько порядков меньше времени, просто изучая 4-векторы.
@JerrySchirmer Я нахожу 4-вектор слишком абстрактным, но если вы скажете, что это такой полезный математический инструмент, может быть, я изучу их.

Неправда, что последнее уравнение не работает: оно работает. Правая сторона

Е Икс + ты у Б г − ты г Б у − Е Икс ты Икс + Е у ты у + Е г ты г с 2 ты Икс
Пока левая сторона
γ 2 ( 1 − β ты Икс β ) 2 [ Е Икс ′ + ты у ′ Б г ′ − ты г ′ Б у ′ − Е Икс ′ ты Икс ′ + Е у ′ ты у ′ + Е г ′ ты г ′ с 2 ты Икс ′ ]
где (не пишу Б Икс ′ "=" Б Икс потому что он нам сейчас не нужен)

  • Е Икс ′ "=" Е Икс
  • Е у ′ "=" γ ( Е у − в Б г )
  • Е г ′ "=" γ ( Е г + в Б у )
  • Б у ′ "=" γ ( Б у + в с 2 Е г )
  • Б г ′ "=" γ ( Б г − в с 2 Е у )
  • ты Икс ′ "=" ты Икс − в 1 − ты Икс в с 2
  • ты у ′ "=" ты у γ ( 1 − ты Икс в с 2 )
  • ты г ′ "=" ты г γ ( 1 − ты Икс в с 2 )
  • γ "=" 1 1 − β 2
  • β "=" в с
  • β ты Икс "=" ты Икс с

Выполняя подстановку, мы видим, что обе стороны одинаковы.

В исчислении могут быть полезны следующие промежуточные шаги:

Е Икс ′ ты Икс ′ + Е у ′ ты у ′ + Е г ′ ты г ′ "=" Е Икс ты Икс + Е у ты у + Е г ты г + в ( Б у ты г − Б г ты у − Е Икс ) 1 − ты Икс в с 2
ты у ′ Б г ′ − ты г ′ Б у ′ "=" ты у ( Б г − в Е у с 2 ) − ты г ( Б у + в Е г с 2 ) 1 − ты Икс в с 2
Я сделал эту проверку вручную два раза, я уверен, что последнее уравнение моего ответа работает. Я проверил у компонент тоже (и, конечно, г нормально по симметрии).

Принцип относительности и точечная частица в электромагнитном поле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v