Как найти среднюю кинетическую энергию и среднюю потенциальную энергию электрона водорода в основном состоянии?

Как найти среднюю кинетическую энергию и среднюю потенциальную энергию электрона водорода в основном состоянии?

На моем уроке современной физики мы завершаем трехмерное уравнение Шредингера, и я более чем немного запутался. Несколько глав назад мы узнали об операторах, и у меня есть уравнение для обеих этих вещей в 1D . Это выглядит как

⟨ К ⟩ "=" ∫ ψ К ψ г Икс ,
где
К "=" − час 2 2 м ∂ 2 ∂ Икс 2 .

Так,

  • Как мне заставить это работать в 3D, и это то, что я хочу сделать здесь?
Да, вам нужно сделать этот интеграл, но оператор ke в 3d включает ∇ 2 а не просто производная x
Ты на правильном пути. Почему бы просто не запустить в построение расчета свои операторы из их классических аналогов? Иногда бывает полезно несколько раз ошибиться в процессе обучения.
@ Эшли, я думаю, это должно быть ℏ в определении К если только вы не работаете с забавными юнитами. Ты можешь измениться час к ℏ набрав \hbarвместо h.
Кроме ⟨ К ⟩ "=" ∫ ψ К ψ г Икс должно было ⟨ К ⟩ "=" ∫ ψ * К ψ г Икс вы также можете изменить это, изменив \int \psi K \psiна\int \psi^* K \psi

Ответы (3)

Один из методов - использовать/доказать теорему вириала : для потенциала вида В ( р ) ∝ р п (для атома водорода п "=" − 1 ),

⟨ Т ⟩ н "=" п 2 ⟨ В ⟩ н
для н -е энергетическое собственное состояние.

Используйте это вместе с

Е н "=" ⟨ Е ⟩ н "=" ⟨ Т ⟩ н + ⟨ В ⟩ н
и
Е н "=" Е 1 н 2 ,           Е 1 "=" − 1 2 α 2 м е с 2 "=" − 13,6   е В .

Я не хочу портить вам красоту 3D QM, особенно если вы хотите исследовать ее самостоятельно. Однако я решил дать вам несколько советов о том, как подойти к переходу от 1D к 3D.

Рассматривая 1D QM, прежде всего подумайте о том, что значит находиться на оси X. Кто должен решать, какая ось является осью x и какая ось является осью y или z в этом отношении. Это означает, что между этими осями должна быть симметрия, т.е. Оператор К не может быть оператором типа К "=" Икс ^ + у ^ 2 если есть такая симметрия между осями. Кроме того, 3D-оператор К должен сократиться до оператора 1D, который вы указали выше, если вы считаете, что оператор 3D является 1D. Обратите также внимание, что ваше уравнение должно быть согласовано по размерам.

Ожидаемое значение этого оператора также очень прямолинейно. Просто нужно что-то подправить в интеграле и все.

Если вам нужно более подробное объяснение, укажите это в комментариях, и я соответствующим образом отредактирую свой ответ или отвечу на ваш вопрос в разделе комментариев.

Вы также можете использовать, что сдвиг собственного значения энергии из-за возмущения в первый порядок является математическим ожиданием возмущения в невозмущенном состоянии. Если умножить термин кинетической энергии на λ и член потенциальной энергии мю , у вас практически тот же гамильтониан, так что вы можете записать энергию основного состояния без особых усилий. Производные относительно λ и мю затем даст вам два желаемых значения ожидания.

Как найти среднюю кинетическую энергию и среднюю потенциальную энергию электрона водорода в основном состоянии?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v