Как объяснить спин-спиновую релаксацию в МРТ/ЯМР с точки зрения квантовой механики?

В общем, взаимодействие состояний намагниченности протона с соседними атомами допускает переход состояний. Если мы можем рассматривать их как малые возмущения, то с точки зрения теории возмущений, зависящих от времени, скорость вероятности перехода из состояния i в f задается,

$$\begin{equation} W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |<f|V|i>|^{2} \delta(E_{f}-E_{i}) \end{equation}$$ Для экономии энергии при переходе от $m=-1/2$к $m=+1/2$случается, за ним должен следовать другой протон из $m=+1/2$к $m=-1/2$. Затем возьмите любые два состояния $a,b$с состоянием b имеет более высокую энергию. Обозначим восходящий энергетический переход через $a-$ $\rightarrow$ $b+$и переход вниз по $b+$ $\rightarrow$ $a-$.

Если$N_{+}$это начальное количество спинов с$m=+1/2$затем,

$$\begin{equation} \frac{dN_{+}}{dt} = W_{b+a-}N_{-}n_{a}-W_{a-b+}N_{+}n_{b} \end{equation}$$

где$n_{b}$- начальное число состояний с более высокой энергией и$n_{a}$меньшая энергия, связанная с фактором Больцмана,

$$\begin{equation} \frac{n_{a}}{n_{a}} = e^{-\hbar B_{0} \gamma /kT} \end{equation}$$

В нашем случае вероятностные переходы равны, как и в случае$1^{st}$или теория возмущений,

$$\begin{equation} W_{b+a-} = W_{a-b+} = W \end{equation}$$

Общее количество состояний фиксировано,

$$\begin{equation} N = N_{+}+N_{-} \end{equation}$$ и письмо, $$\begin{equation} N_{\pm} = \frac{N \pm \Delta N}{2} \end{equation}$$ Теперь объединив предыдущие уравнения, $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = WN(n_{a}-n_{b})-W\Delta N(n_{a}-n_{b}) \end{equation}$$ Мы хотим в равновесии $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = 0 \end{equation}$$ Но это подразумевает $$\begin{equation} \Delta N_{0} = \frac{n_{a}-n_{b}}{n_{a}+n_{b}}N \end{equation}$$ Определять $W(n_{a}+n_{b})$как $\frac{1}{T_{1}}$постоянная времени продольной релаксации, то получаем

$$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = \frac{\Delta N_{0} -\Delta N}{T_{1}} \end{equation}$$

Наконец, возьмите среднее значение по объему, и вы получите что-то похожее на

$$\begin{equation} \frac{d M_{z}}{dt} = \frac{M_{0}-M_{z}}{T_{1}} \end{equation}$$ которое представляет собой уравнение релаксации продольной составляющей спина.