Связь между магнитным дипольным моментом и спиновым угловым моментом

Я читаю Введение в квантовую механику, 1-е издание Дэвида Дж. Гриффитса, и у меня есть пара вопросов по этому разделу на странице 160.

Вращающаяся заряженная частица представляет собой магнитный диполь. Его магнитный дипольный момент$\mu$пропорциональна его спиновому угловому моменту S :

$$\mathbf{\mu} = \gamma\mathbf{S}$$ константа пропорциональности $\gamma$называется гиромагнитным отношением .

Принимая магнитный дипольный момент за вектор в$\mathbb{R}^3$, что S имеет в виду? Я еще не видел ни одного вектора в$\mathbb{R}^3$определяется в тексте как спиновый угловой момент, только спиноры, которые дают общее состояние, например, частицы со спином 1/2 как

$$\chi = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = a\chi_+ + b\chi_-$$ используя собственные состояния со спином вверх и вниз в качестве базисных векторов.

Раздел продолжается:

Когда магнитный диполь помещается в магнитное поле$\mathbf{B}$, он испытывает крутящий момент,$\mathbf{\mu \times B}$, что имеет тенденцию выстраивать его параллельно полю (точно так же, как стрелка компаса). Энергия, связанная с крутящим моментом, равна

$$H = -\mu\cdot\mathbf{B}$$ поэтому гамильтониан вращающейся заряженной частицы, покоящейся в магнитном поле $\mathbf{B}$, становится $$H = -\gamma\mathbf{B\cdot S}$$ где $\mathbf{S}$является подходящей спиновой матрицей.

Каков математический смысл этого скалярного произведения$\mathbf{B\cdot S}$вектора в$\mathbb{R}^3$с матрицей 2x2 (в случае спина 1/2)?