Как объяснить третий закон Кеплера в общих чертах без сложной математики?

В 1619 году, почти за столетие до того, как Ньютон опубликовал свои новаторские « Принципы математики », Иоганн Кеплер внес революционный вклад в наблюдательную астрономию. Он заметил, что квадрат периода обращения$(P^2)$(время обращения планеты вокруг Солнца) орбиты планеты прямо пропорционально кубу длины большой полуоси (почти для всех планетных орбит среднее расстояние от Солнца) этой орбита, ($a^3$). В правильных единицах, принимая$a$находиться в AU ( астрономических единицах ) и$P$чтобы быть в годах, это отношение может быть выражено:

Третий закон Кеплера фиксирует эмпирическую тенденцию. Он не делает заявлений о природе гравитации или фундаментальных физических силах, управляющих движением небесных тел, — он представляет собой математический образец, который Кеплер обнаружил в данных. Поиск подобных тенденций по-прежнему является важной частью наблюдательной астрономии сегодня. Третий закон Кеплера утверждает, что орбитальные периоды и орбитальные расстояния связаны — важное открытие, потому что до этого момента не было широко понято или принято, что поведение природных явлений может быть выражено математическим языком.

Если вы не хотите решать его для общего эллипса, вы можете попробовать круг. (частный случай эллипса). Теперь для центростремительной силы, равной гравитационной силе =

и за общее время в одном обороте.

Теперь используйте первое, чтобы получить скорость, и поместите ее во второе уравнение.

т.е.$T$пропорциональна$R^{3/2}$.

В качестве альтернативы вы можете использовать размерный анализ. Вы хотите время$[T]$и единственные вещи, которые у вас есть, это

• $G$с размерами$[M^{-1}] [L^3] [T^{-2}]$
• $M$масса центрального тела с размерами$[M]$
• $a$большая полуось с размерами$[L]$(если вы не уверены, что большая полуось - это расстояние, которое имеет значение, просто подумайте об этом как о каком-то обобщенном среднем «размере орбиты» - масштабирование будет таким же)

Если вы соедините их произвольно, вы получите

с размером$[M^{j-i}] [L^{3i+k}] [T^{-2i}]$. Утверждая, что у вас есть время$[T^1]$дает:

Решение этих дает$i=j=-1/2$и$k=-3i=3/2$, таким образом

Вы не можете вычислить константу пропорциональности этим методом, но этого уже достаточно, чтобы получить третий закон Кеплера.