Как операторы рождения меняются со временем во взаимодействующей теории?

Давайте для простоты рассмотрим реальную скалярную теорию поля (и метрическую сигнатуру$+ - - -$). В свободной теории можно использовать модовые разложения поля$\phi(x)$и его канонический сопряженный импульс$\pi(x)$вывести следующие выражения для операторов рождения и уничтожения:

$$a(p)=i\int d^3x\ e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x),\ a^\dagger(p)=-i\int d^3x\ e^{-ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)$$ где $g\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}f:=g\partial_0f-(\partial_0 g)f$. Это соотношение всегда верно (и точно) в теории свободного поля.

В теории взаимодействия делается допущение — обычно сопровождаемое маханием руками аргументом об «отключении взаимодействий в отдаленном прошлом и будущем», — что эти отношения все еще выполняются асимптотически (т. е. как$t\to \pm \infty$). Теперь мы хотим узнать, насколько$a$и$a^\dagger$меняются со временем, поэтому мы учитываем следующее:

$$\Delta a(p)=a(p,\infty)-a(p,-\infty)=\int\partial_0 a(p,t)\ dt=i\int d^4x\ \partial_0 \left(e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)\right)$$ Можно просто выписать эти производные и использовать дополнительное предположение о поведении $\phi(x)$в бесконечности, чтобы отменить некоторые члены, в конечном итоге придя к $$\Delta a(p)=i\int d^4x\ e^{ipx}(m^2+\partial^2_t-\partial_i^2)\phi(x)=i\int d^4x\ e^{ipx}(\square+m^2)\phi(x)$$ Это сразу показывает, что $\Delta a(p)$равен нулю в свободной теории, так как свободное поле подчиняется уравнению Клейна-Гордонга $(\square+m^2)\phi=0$, отражающий тот факт, что $a(p)$в этом случае не зависит от времени. Однако во взаимодействующей теории уравнение движения другое и (обычно) нелинейное (например, $(\square+m^2+\lambda\phi^3)\phi=0$в случае $\phi^4$-теория), поэтому $\Delta(p)$не будет обращаться в нуль во взаимодействующем случае. Нетрудно вывести очень похожее выражение для $\Delta a^\dagger(p)$, которому можно дать такую ​​же интерпретацию.

Приложение (18-12-2014):

Оказывается, не совсем просто найти хорошую интерпретацию основных выражений. Однако я считаю, что теперь нашел хорошую ментальную картину. Однако, чтобы сделать его немного более ясным, нам нужно проделать еще кое-какую работу. Из выражений для$\Delta a(k)$и$\Delta a^\dagger(k)$довольно просто вывести формулу приведения LSZ для$N$влетающие частицы с импульсами$p_i$и$M$вылетающие частицы с импульсами$k_i$(в позиционном пространстве). Если затем выполнить преобразование Фурье, мы найдем:

$$\begin{align}\langle k_1\dots k_M|S|p_{1}\dots p_{N}\rangle &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \prod_{i=1}^M i(k_i^2+m^2)\prod_{j=1}^Ni(p_i^2+m^2)\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1})\\ &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(k_1)\Big)^{-1} \dots\Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(p_N)\Big)^{-1}\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1}) \end{align}$$

Здесь проще дать интерпретацию. Последний «большой» распространитель в основном берет на себя$N$исходных частиц и позволяет им эволюционировать во времени, включая условия взаимодействия , до$M$частицы в состоянии «вне» — это, по сути, черный ящик. Тогда произведение обратного свободного (обратите внимание на верхний индекс$(0)$) пропагаторы можно интерпретировать как вычитание эволюции в свободное время всех частиц по отдельности.

Имея это в виду, мы можем дать такую ​​же интерпретацию выражению для$\Delta a$и его эрмитово сопряженное: мы можем интерпретировать$(\square+m^2)$как «вычитание» эволюции «свободного» времени, оставляя только ту часть, которая обусловлена ​​взаимодействием (как мы знаем, свободные операторы рождения/уничтожения должны быть независимыми от времени). Я знаю, что это очень неуместно, но я думаю, что это лучшее, что я могу сделать с точки зрения обеспечения интуитивного понимания того, что «это означает» - конечно, в основном нужно просто заткнуться и вычислить ;)