Как определяются точки Лагранжа?

Набросанное доказательство всех возможных точек Лагранжа :

1. Сначала рассмотрим задачу двух тел . Сделайте вывод, что возможные точки Лагранжа должны лежать в плоскости орбиты (поскольку зонд всегда будет гравитационно притягиваться к плоскости орбиты). Итак, с этого момента мы ограничиваем внимание орбитальной плоскостью, которую мы отождествляем с комплексной плоскостью.$\mathbb{C}$.

2. Рассмотрим для простоты задачу двух тел с круговыми орбитами. Позволять$R$быть фиксированным расстоянием между двумя точечными массами$m_1$и$m_2$. Перейдите в систему координат вращающегося центра масс (ЦМ), где точки масс$m_1$и$m_2$фиксируются на позициях

   $$r_1~=~-\epsilon_2 R ~<~0\qquad\text{and}\qquad r_2~=~\epsilon_1 R~>~0 \tag{1}$$ вдоль действительной оси, где $$\begin{align} \epsilon_1~:=~&\frac{m_1}{m_1+m_2}~>~0,\cr \epsilon_2~:=~& \frac{m_2}{m_1+m_2}~>~0, \cr \epsilon_1+\epsilon_2~=~&1.\end{align}\tag{2}$$

         m_1           CM               m_2
    ------|-------------|----------------|-----------> z
         r_1            0               r_2
          |                              |
          |<--------------R------------->|
   

   $\uparrow$Рис. 1: Позиции$r_1$и$r_2$масс$m_1$и$m_2$.

3. Сила гравитации на$m_2$должен нейтрализовать центробежную силу$m_2$:

   $$\frac{Gm_1m_2}{R^2} ~=~ m_2\Omega^2 r_2 \qquad\Rightarrow\qquad \Omega^2~=~\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}.\tag{3}$$ Это определяет угловую скорость$\Omega$системы координат.

4. Сделайте вывод, что пробная масса в положении$z\in\mathbb{C}$испытывает ускорение

   $$a~=~ -\frac{Gm_1z_1}{|z_1|^3} -\frac{Gm_2z_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 z,\tag{4}$$ от силы тяжести и центробежной силы, где мы определили относительные положения $$z_1~:=~ z-r_1~\neq~0\qquad\text{and}\qquad z_2~:=~ z-r_2~\neq~0.\tag{5}$$

5. Сделайте вывод, что уравнение

   $$a~=~0\tag{6}$$ для точек Лагранжа $$\frac{z}{R^3} ~\stackrel{(2)+(3)+(4)+(6)}{=}~\frac{\epsilon_1z_1}{|z_1|^3} +\frac{\epsilon_2z_2}{|z_2|^3} ,\tag{7}$$ или эквивалентно, $$\begin{align}z~&\overbrace{\left(\frac{\epsilon_1}{|z_1|^3}+ \frac{\epsilon_2}{|z_2|^3}-\frac{1}{R^3}\right)}^{\in~\mathbb{R}} \cr ~\stackrel{(1)+(5)+(7)}{=}& \underbrace{\epsilon_1\epsilon_2R \left(\frac{1}{|z_2|^3}-\frac{1}{|z_1|^3} \right)}_{\in~\mathbb{R}}. \end{align}\tag{8}$$

6. Единственный способ, которым$z$на лев. экв. (8) может быть недействительным числом, если две скобки в уравнении. (8) оба равны нулю. Это условие того, что 3 тела образуют равносторонний треугольник.

   $$|z_1|~=~R~=~|z_2|. \tag{9}$$ уравнение (9) имеет 2 решения, а именно точки Лагранжа$L_4$и$L_5$: $$\begin{array}{rcccl} z_1~&=&~R\exp\left\{\pm \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2}, \cr z_2~&=&~-R\exp\left\{\mp \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~-\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2} . \end{array}\tag{10}$$

7. Следовательно, мы можем (и будем) предполагать с этого момента, что$z\in\mathbb{R}$реально, то есть что 3 тела коллинеарны. Тогда ур. (7) превращается в уравнение 5-го порядка , корни которого в общем случае не имеют замкнутой точной формулы . Поскольку производная

   $$\frac{da}{dz}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{2Gm_1}{|z_1|^3} + \frac{2Gm_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 ~>~0\tag{11}$$ положителен для$z\in\mathbb{R}\backslash\{r_1,r_2\}$, в каждом из непрерывных интервалов может быть не более одного корня $$]-\infty,r_1[, \qquad ]r_1,r_2[ \qquad\text{and}\qquad ]r_2,\infty[.\tag{12}$$ Отсюда уравнение$a=0$имеет не более 3 действительных корней. Поведение функции$a$вблизи сингулярностей$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$показывает, что уравнение$a=0$имеет ровно 3 действительных корня$L_1$,$L_2$&$L_3$, ср. Рис. 2. См., например, Ref. 1 и Википедии для получения дополнительной информации.

   

   $\uparrow$Рис. 2: Пример ускорения$a$как функция (4) положения$z$. Функция$a$имеет особенности в позициях$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$. Наклон (11) везде положителен. Всегда имеется ровно 3 действительных корня$L_1$,$L_2$&$L_3$.

8. По вопросам стабильности см., например, этот и этот посты Phys.SE.$\Box$

Использованная литература:

1. Дж. Бинни и С. Тремейн, Galactic Dynamics, 2-е издание (2008 г.); п. 676.

Точки Лагранжа — это положения, в которых другой объект может вращаться вокруг Солнца с тем же периодом, что и Земля. (L1 было бы хорошим местом для размещения астероида, чтобы заблокировать часть солнечного тепла.) Давайте предположим, что Земля и Луна действуют как единая объединенная масса в центре масс. Можно предположить, что объект на L1 (меньшая орбита вокруг Солнца) будет двигаться быстрее, чем Земля, но пока он остается на одной линии с Землей, гравитация Земли компенсирует дополнительное притяжение Солнца. Точно так же в L2 и L3 притяжение земли взаимодействует с притяжением солнца. В точках L4 и L5 векторная сумма двух сил определяет орбиту. (См. ответ от Qmechanic для формул.)