Потенциальная энергия стремится к бесконечности в задаче N-тел

Мне нужна помощь, чтобы решить эту проблему, связанную с проблемой N-Body, я не очень хорошо понимаю, что мне нужно определить или выразить, чтобы решить ее.

Мы предполагаем частное решение проблемы N тел для всех$t>0$, и$h>0$, где$h$- полная энергия N-тел, покажите, что$U\rightarrow \infty$как$t\rightarrow \infty$. Это значит, что расстояние между парой частиц стремится к бесконечности? (Нет.)

В задаче N-тела$U$дан кем-то$U=\sum_{1\leq i< j\leq N}\frac{Gm_{i}m_j}{\left \| q_i-q_j \right \|}$, где$G$— гравитационная постоянная. Кинетическая энергия$T=\sum_{i=1}^{N}\frac{\left \| p_i \right \|^2}{2m_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i{\left \| \dot{q}_i \right \|^2}$

Вектор$q_{i}$определить вектор положения$i$частица. Итак, в основном$U$подобен сумме всех потенциальных энергий между всеми$N$частицы. Также по формуле Лагранжа Якоби имеем, что$I$это момент инерции,$T$кинетическую энергию, поэтому мы можем выразить:

где$h$является сохраняющейся величиной.

Я думаю, что если$U\rightarrow \infty$, затем$T\rightarrow \infty$(потому что$h$постоянна), проблема в том, что единственный способ, который я вижу$U\rightarrow \infty$когда расстояние между всеми частицами$\left \| q_i-q_j \right \| \rightarrow 0$, но это означает, что это будет столкновение, поэтому, если у нас есть столкновение, то$t\rightarrow t_1$а не к$\infty$, потому что столкновение занимает конечное количество времени (теорема Сундмана о полном коллапсе) , как я уже сказал, я не знаю, что я должен определить, чтобы показать, что$U\rightarrow \infty$как$t\rightarrow \infty$, или, может быть, мне нужно определить$q_i(t)$что каким-то образом это$\left \| q_i-q_j \right \|$приближается к нулю, но никогда не достигает нуля, поэтому$t$может$t\rightarrow \infty$?

Кроме того, как насчет вопроса о паре частиц, улетающих на бесконечность? Понятно, что они не должны идти в$\infty$потому что тогда$U\rightarrow 0$, а мы пытаемся доказать другой случай.