Как орбиты становятся стабильными?

В первую очередь следует отметить, что орбита такого спутника стабильная, то есть при отклонении от точного значения$r=r_0$малой величиной он не уйдет и не упадет на землю, а будет иметь радиальное простое гармоническое движение вокруг$r=r_0$.Это потому что$r=r_0$соответствует минимуму эффективного потенциала, в котором находится спутник.

Математически это можно показать следующим образом.$r=r_0$на небольшую величину, так что энергия определяется выражением

Если вы расширите$V_{eff}(r)$о минимуме, который$r=r_0=\frac{L^2}{Km}$ты получишь

Где$k=V_{eff}''(r_0)=\frac{K^4m^3}{L^6}$.Поэтому радиальное движение будет простым гармоническим колебанием около$r=r_0$с частотой

Это будет более ясно, если вы просто попытаетесь построить$V_{eff}(r)$против$r$. О$r=r_0$где$V_{eff}$минимален, потенциал можно аппроксимировать как потенциал простого гармонического осциллятора для$r\sim r_0$.

В дополнение к другим ответам, позвольте мне добавить интуитивный:

Возьмем случай, когда тело движется слишком быстро для круговой орбиты. Как вы говорите, он будет двигаться наружу. Но когда он движется наружу, он поднимается против силы тяжести. Его кинетическая энергия падает. Его скорость снижается. В конце концов, скорость снижается до меньшей , чем требуется для круговой орбиты, и она снова падает.

В этом отличие круговых орбит от эллиптических. Эллиптические орбиты имеют больше энергии, чем круговая орбита на самой низкой высоте, но меньше, чем круговая орбита на самой высокой.

Причина, по которой планеты в нашей Солнечной системе имеют стабильные орбиты, заключается в том, что во время формирования Солнечной системы вокруг Солнца вращался обломочный диск, состоящий в основном из газа. В этот период, когда началось формирование протопланет, они взаимодействовали с этим обломочным диском из-за к этому взаимодействию(силам трения) на планетах с диска обломков, Планеты достигли более или менее круговой орбиты. После этого наша солнечная система продолжала развиваться, и этот обломочный диск исчез (сформировались астероиды, кометы). С этого момента планеты зафиксировались на достигнутой ими орбите.

На изображении ниже представлена ​​звездная система с одной планетой, вращающейся по орбите, а также диском обломков.

как орбита тела, подобного спутнику или планете, имеет идеальный баланс между гравитационным притяжением и центробежной силой вращения?

Нет, это не идеальный баланс. Если бы это было так, все орбиты были бы идеально круговыми, что не так. на заданном расстоянии$r$от земли существует определенная орбитальная скорость, при которой объект имеет круговую орбиту. Если бы объект на этой орбите разгонялся до большей скорости, гравитационное притяжение не увеличивалось бы только для того, чтобы удерживать этот объект на круговой траектории, гравитационное притяжение остается прежним. Следовательно, этот объект будет иметь эллиптическую орбиту. Чтобы объяснить это математически, чтобы объект находился на круговой орбите, он должен иметь центростремительную силу, равную гравитационной силе:

Из уравнения видно, что если мы увеличим орбитальную скорость, вышеуказанное равенство между центростремительным ускорением и гравитационным притяжением не будет выполняться. Таким образом, у него больше нет круговой орбиты.

На изображении ниже мы можем видеть красным цветом, что если орбитальная скорость равна приведенному выше уравнению, которое мы рассчитали, то она имеет круговую орбиту. Если она меньше или больше, она достигает эллиптической орбиты.

В двух измерениях в любой равномерно вращающейся системе отсчета есть две фиктивные силы: центробежная сила и сила Кориолиса. Центробежная сила оттягивает прямо от точки вращения и имеет величину$mr\omega^2$где$m$масса объекта;$r$расстояние от центра; и$\omega$- угловая частота. Сила Кориолиса действует в направлении 90° по часовой стрелке от скорости во вращающейся системе отсчета, если система отсчета вращается против часовой стрелки, и на 90° против часовой стрелки, если система отсчета вращается по часовой стрелке и имеет величину$2mv$где$v$- скорость во вращающейся системе отсчета. На самом деле мы живем в третьем измерении, а не во втором, и по этой причине сила гравитации изменяется как отрицательная вторая степень расстояния. Однако мы можем использовать формулы для расчета центробежной силы и силы Кориолиса во втором измерении, чтобы выяснить, как это сделать в третьем измерении. Солнце настолько массивнее Земли, что гравитационным воздействием Земли на Солнце можно пренебречь. Предположим, Земля имеет точную круговую орбиту вокруг Солнца, которой на самом деле нет. Тогда мы можем взять равномерно вращающуюся систему отсчета, в которой Земля и Солнце неподвижны. Тогда, если Земля имеет крошечное отклонение от этой орбиты, это заставит силу Кориолиса действовать на Землю в этой системе отсчета. Это'