Как пертурбативность может пережить перенормировку?

Это также ненадолго беспокоило меня при изучении перенормировки. Вы сначала предполагаете, что$\delta\lambda$мала на всем протяжении, а это значит, что вы сначала делаете отсечку , и берете$\lambda$достаточно мал, чтобы$\lambda\log(\Lambda)$не большой. Это не особенно сложно — бревна никогда не бывают большими, если отсечка не является астрономической.

Затем вы переписываете ряд в терминах физических связей и замечаете, что полученный ряд не зависит от затравочных связей и масс, а затем делаете обоснованную гипотезу о том, что это разложение справедливо только в предположении, что физическая связь мала. , даже если вы пойдете вперед и сделаете отсечку настолько большой, что голая связь будет большой.

Основанием для этого является локальный масштаб работы муфты. Предположим для определенности, что вы создаете модель Изинга в некотором масштабе (который является пределом бесконечной связи евклидовой модели).$\phi^4$теории в околокритической фазе с нарушением симметрии), если вы дойдете до критической точки модели Изинга, вы окажетесь в пределе, в котором длинноволновая теория описывается теорией возмущений.

Если вы начнете с модели Изинга и сделаете несколько итераций вращения группового блока ренормализации в реальном пространстве, несколько шагов ренормализации в реальном пространстве в стиле Мигдала-Каданова с использованием средних полей, вы получите физическую связь для среднего поля, которая не больше бесконечности - среднее поле не застревает на -1 или 1, а усредняется в капли вокруг этих значений. Если вы переходите к более крупным масштабам, в конечном итоге эффективная связь среднего поля всегда постепенно уменьшается по мере того, как уменьшается ваше ограничение по импульсу. Поскольку теория дальних расстояний универсальна, то есть вам нужно настроить только один параметр, а затем все остальное определяется континуальной теорией, вы должны получить один и тот же ответ для дальнодействующих корреляций независимо от того, обрывается ли микроскопическая теория на пределе. Шкала Изинга (шкала полюса Ландау), где связь бесконечна, или в каком-то гораздо большем масштабе, когда связь остается небольшой во всем диапазоне. Поскольку физика не зависит от обрезания, для режима, когда обрезание создает всюду малую связь, теория возмущений должна быть надежной.

Следует представить, что отсечка находится в физическом масштабе, на реальной длине, а не на нуле, а голая связь отличается от физической связи не более чем в два раза. Это обычно имеет место для физических теорий ведения журналов, таких как сектор Хиггса в стандартной модели.

Приведенный выше аргумент требует ведения журнала, чтобы сохранить$\delta\lambda$мал везде в диапазоне от нулевого импульса до отсечки, и это наивно не работает в 3-х или 2-х измерениях, где у вас есть сильный степенной закон, потому что связь является размерной. В этих более низких измерениях процесс перенормировки не так совместим с возмущением, потому что связь в$\phi^4$теория идет как сила, она размерна. В этом случае у вас есть три инструмента: пересуммирование, ренормализация в реальном пространстве и$\epsilon$расширение.

в$\epsilon$расширения вы делаете анзац, что связь идет как степень масштаба, и что коэффициент имеет фиксированную точку, которая определяется структурой 4-мерной теории логарифмирования. Это работает для предсказания критических показателей с определенной точностью, но в эпсилон-расширении теория возмущений не так полезна, как инструмент вычисления корреляционных функций, потому что связь зависит от степенного масштаба. Но когда у вас есть критические показатели, вы можете попытаться построить конформную теорию поля критической точки в 3d, применяя трюки с операторами Каданова-Полякова. Это индустрия, и в 2d она по существу понятна, и многие конформные точки решены и изучены с использованием передовых математических инструментов.

Методы повторного суммирования сложнее — они включают анализ Бореля, и это дает очень мало информации в расчете на каждый затраченный час. Но это был единственный инструмент до 1970-х годов, поэтому вся старая литература уделяет этому большую часть времени.

Методы реального пространства позволяют вам обойти всю проблему, определяя перенормировку лагранжианов решетчатых теорий напрямую, без какого-либо расширения k-пространства. Вы заменяете переменные поля блочными переменными, и вы сдвигаете связи для блочных переменных и ищете фиксированную точку. Эта идея принадлежит Каданову, но результат часто называют вильсоновским, потому что Нобелевский комитет, как обычно, был монументально глуп.

Но если вы находитесь в 4d, просто делайте то, что люди делают в книгах, сохраняя большую отсечку, но маленькую на всем протяжении, и вы никогда не попадете в беду.

В обычных объяснениях из учебника вы начинаете с бесконечностей и запихиваете их под ковер перенормировки, и нигде не становится ясно, почему теория возмущений оправдывается такими бесконечными возмущениями.

Однако это всего лишь проблема нынешнего поколения учебников, которые обычно пытаются воссоздать часть исторического процесса открытия перенормировки.

Существуют альтернативные способы выполнения перенормировки, которые никогда не сталкиваются с бесконечностью, так что теория возмущений имеет смысл. На уровне обычной квантовой механики это довольно просто понять; см. мою статью http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

Звуковая трактовка уровня квантового поля дается в книге Зальмхофера http://books.google.at/books?hl=en&lr=&id=nAXncL7_KrQC&oi=fnd&pg=PA1&dq=salmhofer+renormalization&ots=w9TM3hYqi0&sig=1zJAQirvfNmmoe4qAxN7mtBK9Hw . Но это уже куда более техническое.

Возмущение не просто${\cal L}_{CT}$, но$-{\lambda\over 4!}\phi^4 + {\cal L}_{CT}$. Первый член дает также бесконечные вклады, а контрчлены добавляются именно для того, чтобы сделать разность конечной. Первый срок$\propto \phi^4$дает бесконечные поправки не потому, что физический$\lambda$бесконечно, но поскольку такое «взаимодействие» дает бесконечные поправки к фундаментальным константам и без их вычитания результаты расчетов бесполезны.