Renorm напряженности поля в Peskin&Schroeder

Вы, безусловно, правы, что в сумме есть и другие члены. Однако член производной равен нулю по условиям перенормировки скалярного поля, а остальные члены предполагаются малыми (когда$p^2$далек от$m^2$схемы все равно маленькие). Для полноты здесь вывод:

Выполняя бесконечную сумму по$1PI$диаграмм мы можем записать пропагатор как

$$\begin{equation} \tag1 \frac{ i }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ где $- i M ^2$это ценность всех $1PI$взносы.

Проблема в том, что согласно оптической теореме, если частица может распасться, это означает, что у нее будет мнимая составляющая для$M ^2$поэтому мы больше не можем отождествлять положение полюса с массой. Вместо этого мы определяем массу частицы следующим образом:

$$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re} ( M ^2 ( m ^2 ) ) = 0 \end{equation}$$

Используя приведенное выше уравнение, мы записываем пропагатор в терминах физических величин как:

$$\begin{align} \tag2 \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 + Z\mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) - ZM ^2 ( p ^2 ) } \end{align}$$ На данный момент, как вы сказали, мы расширяем коррекцию: $$\begin{equation} \mbox{Re} M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ d \mbox{Re} M ^2 }{ d p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ Член первого порядка в пропагаторе сокращается, а второй член равен нулю из-за условий перенормировки скалярного поля (см. уравнение 10.28 у Пескина). Таким образом, вокруг полюса мы можем приблизительно написать: $$\begin{align} \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 - iZ\mbox{Im} M ( p ^2 ) } \end{align}$$

Начиная с

$$\begin{equation} \tag1 \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ и, как указывает Джефф, согласно Оптической теореме*, $M^2$(для распадающейся частицы) может иметь ненулевую мнимую часть. Отсюда определяется физическая масса $m$частицы, а не через $$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - M ^2 ( m ^2 ) = 0, \end{equation}$$ как обычно, а через $$\begin{equation} \tag2 m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) = 0. \end{equation}$$ Сейчас $M^2(p^2)\tag3 = \mathrm{Re}\,M^2(p^2)+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,M^2(p^2).$

Расширение только реальной части

$$\begin{equation} \tag4 \mbox{Re}\, M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ и подключение( $2$), ( $3$) и ( $4$) в наш исходный пропагатор ( $1$) мы нашли

$$\begin{equation} \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ (p ^2 - m^2)\underbrace{\left(1-\frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 }\bigg|_{ p ^2 = m ^2 }\right)}_{Z^{-1}} -\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \\= \frac{ \mathrm{i}Z }{ (p ^2 - m^2) -\mathrm{i}Z\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \end{equation}$$ что мы и хотели показать.

$$\begin{equation} ----------- \end{equation}$$ *(См. уравнение $(7.49)$ПС)