Как показать, что электроны, ответственные за ток, имеют энергию в пределах kBTkBTk_BT от энергии Ферми?

В учебниках обычно пишут, что в металлах электронами, ответственными за электрический ток, являются те, которые имеют энергию около Е Ф и несколько к Б Т вокруг этой энергии. См., например, учебник Датты «Электронный транспорт в мезоскопических системах», стр. 37 (книга доступна в формате PDF из поиска Google):

Легко понять, почему ток полностью течет за несколько к Б Т квазифермиевской энергии.

Но тогда ни доказательств, ни чего-либо связанного к Б Т больше не показывается. Более того, затем было показано, что количество электронов, участвующих в электрической проводимости, пропорционально величине приложенного электрического поля, что для меня совершенно логично. Точнее, он показывает, что разница в энергии между наиболее энергичными электронами, создающими ток, и наименее энергичными электронами, также переносящими ток, стоит 2 е Е л м где л м это длина свободного пробега, которая стоит около 10 нм. Другими словами, ширина энергии вокруг Е Ф что электроны, создающие ток, не имеют к этому никакого отношения. к Б Т .

Я могу понять, что относительно расчетов удельной теплоемкости действительно верно, что только электроны, имеющие энергию около к Б Т вокруг энергии Ферми (порядка 1 эВ для металлов) может поглощать тепловую энергию порядка к Б Т (так о 10 − 5 е В к 10 − 3 е В ). Это легко понять, если использовать тот факт, что электроны являются фермионами и что при комнатной температуре металл подобен холодному ферми-газу. Таким образом, электроны примерно образуют сферу (для простоты возьмем щелочные металлы) в k-пространстве, и все состояния ниже поверхности заняты. Поверхность сферы размыта из-за конечной температуры при величине энергии около к Б Т . Так что электроны, находящиеся ниже поверхности более чем к Б Т не может поглощать тепловую энергию, потому что все состояния над ними заняты. Это только в том к Б Т диапазон окна, в котором электроны могут поглощать тепловую энергию.

Но когда я применяю ту же логику к электрическому току, т.е. мы прикладываем к металлу электрическое поле вместо температуры, я не получаю ничего, связанного с к Б Т больше. Учитывая, что мы применяем 1 V на 1 см образца, величина электрического поля составляет около 100 В / м, что переводится как энергия около 10 − 6 эВ. Другими словами, электрическое поле представляет собой очень маленькое возмущение системы, оно примерно в 40 раз меньше, чем повышение температуры металла на 1 К. Тогда я ожидал бы, что только электроны, имеющие энергию около энергии Ферми Е Ф с запасом, равным крайне малому 10 − 6 эВ сможет отреагировать на поле и произвести ток. Это не имеет абсолютно никакого отношения к к Б Т и на самом деле пропорциональна | Е → | , как и должно быть интуитивно (по крайней мере, для меня). Т.е. я получаю что-то линейное по силе возмущения, как и в случае тепловой энергии с ее тепловым возмущением.

Итак, я не понимаю, как придти к заключению, что только электроны, которые имеют энергию внутри к Б Т из Е Ф способны производить ток.

Я хорошо знаю распределение Ферми-Дирака и то, что его производная по энергии отлична от нуля только около Е Ф , а также о плотности состояний и о том, как на нее влияет температура, и т. д. Но я не вижу, насколько уместно ответить на мой вопрос.

Изменить комментарий Джона Кастера:

Эшкрофт и Мермин обсуждают это в своей главе 13 «Квазиклассическая теория проводимости в металлах». Следуя за объемом электронов, когда они движутся через фазовое пространство, они в конечном итоге становятся множителем производной функции Ферми с энергией, которая отлична от нуля только в пределах нескольких кТл от энергии Ферми.

Я просмотрел эту главу и увидел, что проводимость может быть записана в виде интеграла с членом, который содержит ∂ ф / ∂ ε который включает к Б Т (как я писал в предыдущем абзаце), но я не понимаю, как это подразумевает, что электроны, ответственные за ток в тех, которые находятся внутри к Б Т из Е Ф . Но это действительно, вероятно, путь. Но тем не менее, я должен был бы увидеть, где я ошибаюсь в своих рассуждениях, которые я изложил выше.

@JeffreyJWeimer Похоже, что вся сфера Ферми немного смещается, когда мы применяем поле E, но это не так (как выразился Зиман, это вводит в заблуждение). Из-за принципа запрета Паули поле E влияет только на электроны, движущиеся в направлении поля E, и меняет направление своего импульса против поля E. Примерно менее одного из десяти миллиардов свободных электронов способны на это. Я могу дать вам несколько ссылок, если хотите.
@JeffreyJWeimer Я бы, как я уже писал в своем посте, посмотрел на Е Ф плюс и минус энергетический диапазон, который пропорционален | Е → | . Математика сделана в учебнике Датты (доступен в Google в виде PDF-файла с возможностью просмотра), стр. 39.
@JeffreyJWeimer не влияет на форму сферы. Опять же, это невероятно маленькое возмущение, сдвиг безумно мал (посмотрите на цифры, которые я написал в своем посте). Так что я не уверен, куда вы меня ведете. На эскизе это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сместилась, но физически этого не происходит. Я не понимаю, как это помогает ответить на вопрос.
@JeffreyJWeimer Я не понимаю, как это возможно из-за принципа исключения Паули. Когда энергия взаимодействия недостаточна для того, чтобы низкоэнергетические электроны могли перейти в более высокие незанятые состояния, они не могут взаимодействовать. В каком-то смысле так работает сверхпроводимость. Здесь приложенное поле представляет собой очень малое возмущение, которое не может возбудить почти ни один из свободных электронов. И их не 10 миллиардов. Я сказал, что поле Е может изменить импульс примерно на 1 из 10 миллиардов, это совсем другое... но все же, как это поможет ответить на вопрос?!
Эшкрофт и Мермин обсуждают это в своей главе 13 «Квазиклассическая теория проводимости в металлах». Следуя за объемом электронов, когда они движутся через фазовое пространство, они в конечном итоге становятся множителем производной функции Ферми с энергией, которая отлична от нуля только в пределах нескольких кТл от энергии Ферми.
@JonCuster Спасибо за ссылку. Эту главу я уже читал (несколько раз! И еще несколько из этой книги). Я до сих пор этого не вижу... Смотрите мое редактирование моего поста.
Я предполагаю, что они усвоили это так, что для электрона/объема электронов, далеких от энергии Ферми, когда он развивается в поле, его окружение выглядит в основном как полная полоса. То есть все близлежащие уровни заполнены, а объем перемещается в к , попадает на край зоны и оказывается на другой стороне, не совершив чистую проводимость.
@JonCuster Я понял эту часть, и спасибо за детали, о которых я не подумал. Но как я писал в своем посте, для меня энергетическое окно вокруг Е Ф должно быть порядка е | Е | л , что во многих случаях намного меньше, чем к Б Т . Если заглянуть в учебник Датты, то видно, что самые энергичные электроны имеют энергию Е Ф + е | Е | л в то время как наименее энергичные (которые все еще производят ток) имеют энергию Е Ф − е | Е | л . Здесь нет к Б Т вовлеченный.
Нет, энергетическим «окном» являются регионы в к пространство, в котором электронная плотность может изменяться под внешним воздействием. Тот факт, что энергия, полученная от поля при такой эволюции, намного меньше, чем к Т служит только для того, чтобы показать, что рассмотрение приложенного поля как возмущения оправдано.
@JonCuster Я вижу, это сбивает с толку (для меня). Я думаю, это не имеет значения. Например, тепловое возмущение к Б Т заставляет электроны в k-пространстве получать энергию около к Б Т , слишком. Для электрического тока, если я применяю ту же логику, то я применяю небольшое возмущение, и электроны получают энергию, пропорциональную | Е → | , нет к Б Т вовлеченный. Я понимаю, что в k-пространстве FS - это просто поверхность с равной энергией, где в модели свободных электронов E идет как к 2 .
@JeffreyJWeimer Боюсь, ваше утверждение неверно. Сфера Ферми описывает k-состояния свободных электронов, на ней нет ни одного связанного (с ядрами) электрона.
@JonCuster Думаю, я понял это!!! Я отправил ответ ... чувак, я так счастлив, я думаю, что наконец понял, что происходит!

Ответы (3)

Я наконец понял. Утверждение, что только электроны в пределах нескольких к Б Т вокруг Е Ф вносит свой вклад в ток, когда электрическое поле приложено к металлу, не всегда верно. Это примерно выполняется, когда к Б Т >> е | Е → | л м где л м это средний свободный пробег. Для разумного тока утверждение справедливо почти для всех температур, т.е. выше 1 К.

Причину можно понять, рассмотрев 2 случая.

Первый случай: T = абсолютный ноль . При этой температуре поверхность Ферми совершенно острая, и если бы это утверждение было верным, то только электроны точно на поверхности Ферми давали бы вклад в ток, но это неверно, как видно из бесчисленных изображений смещенных сфер Ферми, найденных в учебники (и показано здесь в ответе Питера). Даже в 0 К, как математически показывает Датта, электроны, имеющие энергию выше Е Ф − е | Е → | л м все вносят вклад в ток. В этом случае энергетическое окно вокруг Е Ф действительно шириной 2 е | Е → | л м . В фигуре Питера о сфере Ферми вклад в ток вносит только серп между смещенной и не смещенной сферами. Максимальная энергия этих электронов пропорциональна приложенному Е → напряженность поля ( в г пропорциональна ему).

Второй случай: конечная температура . В этом случае до приложения электрического поля поверхность Ферми не резкая, а размытая. Это означает, что ниже Е Ф и оккупированные штаты выше Е Ф , все в течение нескольких к Б Т (из-за принципа исключения Паули, как вы уже указали). Тем не менее, очень важно осознавать, что в пределах нескольких к Б Т вокруг Е Ф . Так что когда приложено другое возмущение, например электрическое поле, то все эти электроны вокруг Е Ф несколькими к Б Т может взаимодействовать с Е → поле и увеличить свою энергию (потому что над ними есть незанятые состояния). Здесь предполагается, что электрическое поле является меньшим возмущением, чем к Б Т . Ибо если бы величина электрического поля была гигантской, то даже электроны с гораздо меньшей энергией, чем Е Ф − к Б Т сможет взаимодействовать с полем и внести свой вклад в ток. Вы можете изобразить это на обычной фигуре сферы Ферми как огромное смещение по сравнению с радиусом сферы, а не очень маленькое смещение (для обычного тока реальное «смещение» настолько маленькое, что его не различить невооруженным глазом). обратите внимание на эти цифры).

В модели свободных электронов я предпочитаю говорить, что вклад в ток вносят все валентные электроны. Это дает правильное значение скорости дрейфа, измеренное с помощью эффекта Холла. Это также дает понять, что скорость дрейфа не зависит от температуры.

Изображение, позволяющее визуализировать это, представляет собой смещение сферы Ферми за счет скорости дрейфа в пространстве скоростей:введите описание изображения здесь

Заявление, в котором говорится только внутри к Т Уровень Ферми вносит вклад в ток, что может привести студентов к выводу, что удельное сопротивление металлов должно увеличиваться при низкой температуре. Я не утверждаю, что это утверждение неверно, но я не нахожу его очень полезным для объяснения явлений. Это требует гораздо большего объяснения, чем просто сказать, что число электронов проводимости постоянно.

Утверждения о том, что только электроны выше E_F вносят свой вклад и что больше электронов становится свободными по мере увеличения T, не являются неверными. Однако подвижность электронов снижается быстрее, чем увеличивается числовая плотность. Оба фактора необходимы. В противном случае я бы удивился, почему бы просто не дать правильное объяснение, а не мыть руки в целостности системы.
Эти утверждения неверны @JeffreJWeimer. Пожалуйста, взгляните на рисунок 1.7.2 справочника Датты.
Спасибо за картинку, Питер, но это не ответ на вопрос. На вашем рисунке, когда вы вычисляете F+-F-, где F+ — это энергия, связанная с электронами с волновым вектором kf+kd (наиболее энергичные электроны, создающие ток), а F- — это энергия, связанная с наименее энергичными электронами, которые создают ток (волновой вектор равен kf -kd), вы получаете энергетическое окно около E_F, величина которого пропорциональна напряженности электрического поля, а kBT не появляется. См. ссылку на Датту...
@thermoмагнитныйконденсатныйбосон Я знал, что эта цифра не имеет прямого отношения к вопросу. Это будет цифра для Т "=" 0 . При более высокой температуре была проведена имитация Силсби. Я снял об этом фильм (текст на шведском), и на связанных кадрах показана проводимость при конечной температуре: youtu.be/Y9Q2vgch490?t=158
Питер, спасибо за видео, посмотрю. Между тем я, наконец, понял, я думаю! Я отправил ответ ... Я так счастлив !!! И вообще, твоя картинка очень помогла! Я учел это в своем ответе.
@JeffreyJWeimer «Плотность чисел экспоненциально увеличивается с температурой» ??? Вы, кажется, путаете металлы и полупроводники.
@ Питер Понял. Концентрация свободных электронов в металлах увеличивается почти линейно с температурой. Подвижность уменьшается линейно (или слабо с квадратным корнем из T) 1 . Уменьшение подвижности больше, чем увеличение плотности численности. Следовательно, при комнатной температуре в металлах проводимость линейно уменьшается с повышением температуры.

Сфера Ферми – это Е ( к ) граница между занятым (связующим) и незанятым (несвязывающим) состояниями в металле при нуле Кельвина 1 . В металле проводимость обусловлена ​​главным образом, если не исключительно, движением свободных электронов. Свободные электроны — это те, которые не находятся в занятых (связывающих) состояниях. При 0 К без электрического поля все электроны находятся в занятых состояниях. Следовательно, металл не проводит электрический ток.

Возмущаем металл одним из двух способов.

  • Наложите на металл электрическое поле. Это может исказить поверхность Ферми. Такое искажение НЕ является причиной проводимости тока. Искажение аналогично тому, как форма поверхности Ферми различается в разных кристаллографических ориентациях. Все, что меняется, — это положение энергии Ферми. Ничего не сказано о движении свободных электронов.

  • Наложите на металл электрическое поле. Это продвигает электроны из занятых в несвязывающие (изначально незанятые) состояния зоны. Это действие не зависит от описанного выше изменения формы поверхности. Это продвижение НЕ является основной причиной проводимости тока. Однако это шаг к такому результату.

  • Наложите на материал электрическое поле. Это прикладывает силу к свободным электронам (находящимся в несвязывающих состояниях). Свободные электроны движутся (ускоряются). Это электрический ток.

  • Поместите материал при температуре выше 0 К. Это переводит электроны из занятых в несвязывающие (изначально незанятые) состояния зоны. Эти свободные электроны так же свободны в движении, как и электроны, движущиеся под действием электрического поля.

В заключение отметим, что исходная форма поверхности Ферми сама по себе ничего не говорит об электропроводности. Возмущение формы электрическим полем само по себе ничего не говорит об электропроводности. Наконец, продвижение электронов выше энергии Ферми, будь то приложенным полем или тепловыми средствами, является лишь первым (и необходимым) шагом для определения электропроводности.

Самая важная проблема, с которой мы должны столкнуться при определении проводимости, — это не какой-либо из этих шагов сам по себе. Это комбинация того, сколько электронов могут свободно нести ток (из-за продвижения полем и температурой) и как быстро они движутся. Короче говоря, чтобы определить электрическую проводимость металла, мы должны определить числовую плотность свободных электронов и скорость свободных электронов в приложенном электрическом поле. В металле плотность состояний зависит от Е . При 0 К мы заполняем его соответствующей числовой плотностью связывающих электронов, следуя принципам запрета Паули. Затем мы продвигаем электроны, используя статистику Ферми-Дирака, потому что электроны — это фермионы. Это происходит независимо от того, применяется поле или нет. Используя интеграл свертки, мы получаем картину плотности электронов в зависимости от энергии и температуры р Е ( Е , Т ) как показано здесь . Электроны с энергией выше энергии Ферми могут свободно переносить ток.

Тепловая энергия, которая применяется для продвижения электронов из занятых состояний, составляет порядка к Б Т (это пунктирная линия на картинке). Когда энергия электрического поля, приложенного к металлу, ниже к Б Т , больше электронов свободно из-за теплового продвижения, чем из-за продвижения электрическим полем.

Альтернативные идеи также можно получить, используя базовую потенциальную систему маффин-тин . Связанные электроны локализованы в маффинных потенциалах. Свободные электроны делокализованы по всему набору потенциалов выше энергии Ферми. Электроны свободны прежде всего потому, что они термически продвигаются выше энергии Ферми.

Таким образом, поверхность Ферми является границей между занятыми и свободными электронами. Численная плотность свободных электронов получается интегралом по свертке плотности состояний и функции Ферми-Дирака. Электрическое поле возмущает свободные электроны (те, которые выше энергии Ферми, тепловыми или электрическими средствами), заставляя их двигаться по всей решетке. Это возмущение происходит независимо от того, имеет ли свободный электрон только бесконечно малую энергию выше энергии Ферми или находится на пределе к Б Т или выше энергии Ферми.

«ВСЕ свободные электроны могут двигаться, независимо от их энергии выше энергии Ферми». Вы имеете в виду взаимодействие вместо движения? Или "изменить свою энергию"? Потому что, конечно, все электроны, кроме двух, постоянно движутся, если мы рассмотрим ферми-газ. (да, есть 2 электрона с ровно нулевой энергией, хотя они все еще разбросаны по всему образцу).
По сути, ваш ответ заключается в том, что посылка моего вопроса неверна. Тогда я хотел бы знать, где Датта (и многие, многие другие) ошиблись.
Также я не уверен, почему вы усложняете ситуацию, упоминая связанные электроны. Мой вопрос остался бы в силе, если бы я заменил «металл» на «свободный электронный газ». Это все равно было бы полностью верным, и ваша точка зрения относительно потенциала (ов) решетки бесполезна ... Я только что видел ваше редактирование, в котором теперь говорится, что свободные (несвязанные) электроны не удовлетворяют принципу исключения Паули. Это не верно. Например, свободный электронный газ удовлетворяет PEP, а щелочные металлы близки к этой идеальной модели. Плотность электронов в металлах настолько высока по сравнению с обычным газом при атмосферном давлении, что PEP должен быть
принято во внимание. Только в слаболегированных полупроводниках ФЭП начинает становиться менее актуальным. Но в металлах чрезвычайно важно понимать любое основное свойство, такое как электрическая и теплопроводность.
Я чувствую, что не оскорблял ваш контент. Не стесняйтесь сообщать о моих сообщениях, если вы так считаете, и модераторы возьмут на себя. Модель свободных электронов ( en.wikipedia.org/wiki/Free_electron_model ) — это идеализированная модель металла, учитывающая PEP. Он хорошо работает для большинства щелочных металлов, где влияние потенциала решетки не очень сильно. У него есть свои ограничения, но он используется для понимания того, как вычислять электропроводность и другие основные свойства металлов. Это намного лучше оригинальной модели Друде (которую до сих пор учат).
Теперь я вижу вашу точку зрения. Дело в том, что ответ можно найти в рамках модели свободных электронов. Это как если бы я спросил, как решить простую задачу классической механики, а вы предлагаете ответ, касающийся общей теории относительности, темной материи и черных дыр. Но вы также сделали неверные утверждения. Например, в своем последнем редактировании относительно состояний внутри сферы Ферми вы утверждаете, что это связанные электроны. Это неправильно, это свободные электроны, связанные электроны вообще не отображаются на этой картинке.
Потенциал булочки-олова настолько же классический, насколько это возможно. Это не эзотерика. Это аналогия изучения движения автомобиля по склону с использованием законов Ньютона или сохранения энергии.
Я видел ссылку, и нигде не утверждается, что электроны внутри сферы связаны (с ядрами, как вы подразумеваете) электронами. Все они являются свободными электронами. Единственное место, где «связано» появляется в приведенной вами ссылке, - это заявить, что энергия этих свободных электронов меньше, чем у тех, что находятся прямо на поверхности. Опять же, это не имеет ничего общего с «связанными с ядрами электронами».
Что касается потенциала булочки-олова, то это излишнее усложнение проблемы. Потенциал решетки вообще не нужно вызывать, я мог бы повторить те же рассуждения, что уже написал выше.
Итак, ваше замешательство состоит в том, что вы считаете, что только электроны ИМЕННО на поверхности сферы могут быть возмущены полем? Вы не допускаете к Б Т возмущение уже?
Нет, я не верю, что только электроны на поверхности могут быть возмущены полем Е. У меня есть диапазон окна, который я рассчитал, и он пропорционален силе электрического поля, но не содержит к Б Т (хотя видимо должен!).
Ваше заблуждение состоит в том, что вы считаете, что только те электроны, продвигаемые полем Е, могут свободно переносить ток и действительно являются единственными электронами, переносящими ток. Я переписал свой ответ, чтобы представить это заблуждение таким, какое оно есть.
Как показать, что электроны, ответственные за ток, имеют энергию в пределах kBTkBTk_BT от энергии Ферми?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v