Физический смысл электронов с отрицательной эффективной массой. Это дырки или что?

Что такое действительно эффективная масса?
Эффективная масса возникает в результате расширения дисперсии энергии вблизи ее минимума/максимума, где она соответственно положительна/отрицательна.

Энергетический спектр кристаллического твердого тела состоит из энергетических полос конечной ширины, описываемых уравнением дисперсии энергии$\epsilon_n(\mathbf{k})$, где$n$индекс полосы и$\hbar\mathbf{k}$есть квазиимпульс - это не реальный импульс электрона, а квантовое число, входящее в теорему Блоха.

Возьмем для простоты одномерную полосу с дисперсией

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(ka).$$ Эта полоса имеет минимумы в$k=\pm\pi/a$и максимум при$k=0$, а его ширина$2\Delta$. Если мы разложим это соотношение энергии и квазиимпульса на$k=0$, мы получаем $$\epsilon(k)\approx\Delta -\frac{\Delta a^2 k^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2k^2}{2m^*},$$ где эффективная масса определяется как $$m^*=-\frac{\hbar^2}{\Delta a^2}.$$ Эффективная масса вводится по аналогии с уравнением дисперсии свободных электронов $$\epsilon(k) = \frac{p^2}{2m*} = \frac{\hbar^2k^2}{2m},$$ и упрощает расчеты, когда электроны действительно находятся близко к экстремумам зон.

Если бы вместо этого мы хотели расширить дисперсионное соотношение вблизи его минимума, мы могли бы написать$k=\pm\pi/a + q$, и получить

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(\pm\pi + qa) = -\Delta\cos(qa) \approx\Delta +\frac{\Delta a^2 q^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2q^2}{2m^*}.$$

Для реального полупроводника нас обычно интересуют явления, происходящие вблизи максимума валентной зоны, которая доверху заполнена электронами, и дна зоны проводимости, которая пуста. Поэтому эффективная масса в зоне проводимости положительна, а в валентной зоне отрицательна. Поскольку в реальных материалах энергетические зоны имеют сложную форму, нам часто приходится иметь дело с тензором эффективной массы , возникающим в результате расширения трехмерного соотношения энергия-импульс:

$$\epsilon(\mathbf{k}) \approx \epsilon(0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}k_i k_j = \epsilon(0) + \sum_{i,j}\frac{\hbar^2k_ik_j}{2m_{ij}^*},\\ \frac{1}{m_{ij}^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}$$ (точнее, именно обратная эффективная масса обладает тензорными свойствами.) Более того, в реальном материале дно зоны проводимости и верх валентной зоны не обязательно находятся в одной и той же точке k-пространства.

Эффективная масса вблизи краев зоны Бриллюэна
Наконец, когда мы удаляемся от экстремума полосы, разложение перестает быть справедливым. Однако эффективная масса не расходится при$k=\pm\frac{\pi}{2a}$, так как это не функция$k$, а значение производной в конкретной точке (т. е. экстремуме полосы):

$$m^*=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right)|_{k=0},$$ это не $$m^*(k)=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right).$$

Дырки против электронов с отрицательной эффективной массой
Дырки — это вакансии в валентной зоне, полученные удалением нескольких электронов из ее вершины. Все электроны в верхней части валентной зоны имеют отрицательную эффективную массу, поэтому дырки — это больше, чем просто электроны с отрицательной эффективной массой. На самом деле дырки представляют собой достаточно сложные многочастичные возбуждения.