Как получить интегральную формулу для производной потока по времени

У меня нет времени на подробный вывод, поэтому следующее может содержать ошибки, так что примите это за то, что оно того стоит... Далее я предполагаю, что$\mathbf{B}$постоянна во времени. Если нет, то разность как раз даст (в первом приближении) первый член интеграла в правой части. Рассмотрим объем, образованный$\Sigma(t_0)$и$\Sigma(t_0+dt)$. поток$\mathbf{B}$над поверхностью этого объема будет примерно$dt \frac{d}{dt}\int_{A}\mathbf{B}d\mathbf{A}$. С другой стороны, этот поток равен интегралу дивергенции$\nabla \cdot \mathbf{B}$. Это дает второй член правой части, как$\mathbf{v}dt d\mathbf{A}$является элементарным объемом. Последнее слагаемое в правой части кажется нулевым, так как оно равно потоку ротора через$\Sigma(t_0)$, что равно циркуляции вектора$\mathbf{v} \times \mathbf{B}$над$d\Sigma(t_0)$. Как схема$d\Sigma$постоянно,$\mathbf{v}$должны быть направлены вдоль контура в точках контура, поэтому$\mathbf{v} \times \mathbf{B}$должен быть ортогонален контуру в точках контура, поэтому его циркуляция будет равна нулю.

РЕДАКТИРОВАТЬ (18.09): Поскольку автор вопроса запросил подробности, ниже вы найдете объяснение некоторых моментов исходного ответа. Опять же, могут быть некоторые ошибки, особенно со знаками, так что, пожалуйста, примите это к сведению. Я подозреваю$v$поле скоростей точек поверхности$\Sigma$. Рассмотрим две поверхности:$\Sigma(t_0)$и$\Sigma(t_0+dt)$. Вместе они ограничивают определенный объем$V$между ними. Рассмотрим следующее выражение: 1)$\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$-$\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$(здесь для простоты я предполагаю, что$B$не зависит от времени; более того,$v$,$B$и$A$везде векторные значения и должны быть написаны жирным шрифтом). Это выражение равно$\int_{\Sigma_V} B dA$(где$\Sigma_V$это общая поверхность объема$V$), потому что$\Sigma(t_0)$и$\Sigma(t_0+dt)$войти$\Sigma_V$с противоположными знаками из-за их разного положения относительно нормали объема$V$. С другой стороны, выражение 1) примерно равно следующему выражению: 2)$dt\frac{d}{dt}\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$. Поскольку 1) является интегралом$B$над поверхностью$\Sigma_V$, на самом деле это поток$B$через поверхность$V$. По теореме Гаусса поток векторного поля через поверхность объема равен интегралу дивергенции векторного поля по объему. Следовательно, 1) равно 3)$\int_V (\nabla\cdot B) dV$. С другой стороны, если$Q$некоторое скалярное поле,$\int Q dV$приблизительно равно$dt \int_A Q (v\cdot dA)$(помните этот том$V$очень мал, если$dt$очень мало.) Следовательно, 3) примерно равно$dt\int_A (\nabla\cdot B) (v\cdot dA)$. Поскольку 2)=3), вы можете разделить обе части этого равенства на$dt$и получить второй срок.

Чтобы опираться на отличный ответ @akhmeti, давайте ослабим предположение, что$\partial \Sigma$постоянна во времени. Пусть граница поверхности движется вместе с жидкостью. Тогда мы должны исправить формулу расходимости для потока, выходящего из этой краевой полосы:

$\int_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot [d\mathbf{l} \times \mathbf{v} dt] = \int_{\partial \Sigma} (\mathbf{B}\times \mathbf{v}dt) \cdot d\mathbf{l} = \int_{\Sigma} d\mathbf{A} \cdot (\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{v}) )dt$

Что является источником последнего термина. Я не был осторожен со знаками.

В левой части и B, и поверхность A зависят от времени. В правой части первый член связан с изменением B (даже если A фиксировано), второй и третий члены связаны с тем, что A (t) непостоянна.

Чтобы учесть изменение A со временем, нужно использовать конвективную производную: D/Dt=d/dt+(V.grad)

Подынтегральная функция в правой части:

дБ/dt+V.grad(B)

Но: curl(VxB)=div(B)*V+B.grad(V)-(div(V))BV.grad(B)

И: grad(V)=0 и div(V)=0, поэтому: V.grad(B)=div(B)*V-curl(VxB)

И: дБ/dt+V.grad(B)=dB/dt+div(B)*V-curl(VxB)