Нахождение поперечных составляющих по продольной составляющей для электрического и магнитного поля в цилиндрической системе координат

Может кто-нибудь объяснить, почему эти два уравнения эквивалентны?
введите описание изображения здесь

∇ Т обозначает поперечный двумерный оператор набла: ∇ Т "=" Икс ^ ∂ ∂ Икс + у ^ ∂ ∂ у
г ^ единичный вектор г оси в цилиндрической системе координат.
ЧАС г исходят из скалярного уравнения Гельмгольца для продольной компоненты магнитного поля в цилиндрической системе координат: ∇ 2 ЧАС г + к 2 ЧАС г "=" 0

Е Т "=" Икс ^ Е Икс + у ^ Е у
ЧАС Т "=" Икс ^ ЧАС Икс + у ^ ЧАС у
ϵ мю ю 2 "=" к 2

Электрические и магнитные поля можно разложить на двумерную поперечную составляющую (векторную функцию) и одну продольную составляющую (скалярную функцию).
Е "=" Е Т + г ^ Е г
ЧАС "=" ЧАС Т + г ^ ЧАС г

Оператор Лапласа в любой цилиндрической системе координат:
∇ 2 А "=" ∇ 2 А Т + г ^ ∇ 2 А г , ∇ "=" ∇ Т + г ^ ∂ ∂ г

Из уравнения Максвелла:

введите описание изображения здесь

Пока здесь я понимаю. Но я не понимаю, как сделать исчисление в приведенном выше уравнении. Они говорят, что :
∇ Т × Е Т "=" − Дж мю ю ЧАС г г ^ ( 1 )
∇ Т × г ^ Е г + г ^ ∂ Е Т ∂ г "=" − Дж мю ю ЧАС Т ( 2 )
∇ Т × ЧАС Т "=" Дж мю ϵ Е г г ^ ( 3 )
∇ Т × г ^ ЧАС г + г ^ ∂ ЧАС Т ∂ г "=" Дж мю ϵ Е Т ( 4 )

применение г ^ × ∂ ∂ г к (2) и умножая (4) на − Дж мю ю затем добавляя их и отменяя ЧАС Т :введите описание изображения здесь

то же самое и с этим( Е Т — двумерный поперечный вектор электрического поля в цилиндрической системе координат):введите описание изображения здесь

после использования этой векторной формулы:введите описание изображения здесь

Может ли кто-нибудь объяснить это, используя простое исчисление векторов (тождества)? Меня интересует равенство первых двух выражений, но также мне нужны некоторые пояснения для двух формул, которые они использовали.
Почему ∇ Т × г ^ А г "=" − г ^ × ∇ Т А г ?

Я застрял на этих векторных тождествах с частной производной и скалярами. Я не могу запомнить, я хочу понять, потому что мне будет легче сдавать экзамен.

Спасибо!

Разве это не простой случай идентичности перекрестного произведения? а → × б → "=" − б → × а → ? С ∇ Т г ^ "=" 0 , я думаю это банально...
$0celo7 где вы были до сих пор? Я ему уже ответил. Многие формулы, которые он представляет, отталкивают людей от изучения вопроса, но расчеты очень просты.
@NumLock не пишите товары в форме г → ^ × г → ^ × ∂ 2 А Т / ∂ г 2 потому что г → ^ × г → ^ "=" 0 . Поставьте скобки, чтобы указать, что с чем вы умножаете в первую очередь.
@NumLock — улучшение С → × ( Б → × А → ) "=" ( С → ⋅ Б → ) А → − Б → ( С → ⋅ А → ) .

Ответы (1)

Вы, конечно, знаете, как вычислить векторное произведение. Затем давайте посчитаем два векторных произведения, с которыми у вас возникла проблема, по формуле, которую вы указали для ∇ Т :

  ( я )   − Дж ю мю ∇ Т × г ^ ЧАС г "=" [ Икс → ^ у → ^ г → ^ ∂ ∂ Икс ∂ ∂ у ∂ ∂ г 0 0 ЧАС г ] "=" − Дж ю мю ( Икс → ^ ∂ ЧАС г ∂ у − у → ^ ∂ ЧАС г ∂ Икс ) .

Теперь точно так же вычислим 2-е равенство

  ( я я )   Дж ю мю г → ^ × ∇ Т ЧАС г "=" [ Икс → ^ у → ^ г → ^ 0 0 1 ∂ ЧАС г ∂ Икс ∂ ЧАС г ∂ у 0 ] "=" Дж ю мю ( − Икс → ^ ∂ ЧАС г ∂ у + у → ^ ∂ ЧАС г ∂ Икс ) .

Ну, пожалуйста, сравните два результата.

Я вычислю еще одно векторное произведение, а вы сможете делать аналоговые вычисления.

  ( я я я )   ∇ Т × ЧАС Т "=" [ Икс → ^ у → ^ г → ^ ∂ ∂ Икс ∂ ∂ у ∂ ∂ г ЧАС Икс ЧАС у 0 ] "=" г → ^ ( ∂ ЧАС у ∂ Икс − ∂ ЧАС Икс ∂ у ) .

Из этого результата легко получить равенство (3), принимая во внимание, что в правой части второго уравнения Максвелла единственный член вдоль г → ^ является Дж ϵ Е г . Напомним, для простоты вычислений, что любое векторное произведение, в котором один из множителей идет вдоль г → ^ , имеет результат, перпендикулярный г → ^ .

Разве это не простой случай идентичности перекрестного произведения? а → × б → "=" − б → × а → ? С ∇ Т г ^ "=" 0 , я думаю это банально...
Нахождение поперечных составляющих по продольной составляющей для электрического и магнитного поля в цилиндрической системе координат
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v