Почему скалярное произведение между бездивергентным током J⃗J→\vec{J} и градиентным полем ∇φ∇φ\nabla \varphi равно нулю?

Я читал статью , в которой говорилось, что внутренний продукт между бездивергентным током и градиентным полем равен нулю.

Бездивергентный поверхностный ток ∇ ⋅ Дж → "=" 0 , и Дж → может быть представлен как Дж → "=" ∇ × ( ψ н ^ ) , где н ^ — вектор нормали к поверхности. Таким образом, утверждение становится: ( ∇ × ( ψ н ^ ) ) ⋅ ∇ ф "=" 0 .

Думаю по тождеству:

∇ ⋅ ( А → × Б → ) "=" Б → ⋅ ( ∇ × А → ) − А → ⋅ ( ∇ × Б → )
у нас есть
∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ ∇ ф "=" ∇ ⋅ ( ψ н ^ × ∇ ф ) + ψ н ^ ⋅ ∇ × ∇ ф "=" ∇ ⋅ ( ψ н ^ × ∇ ф ) ,
но что дальше?

Обновление Спасибо, Любош Мотл. Я полагаю, теперь я понимаю, почему, но у меня недостаточно репутации, чтобы ответить ниже, поэтому просто обновите здесь мой ответ.

Цель состоит в том, чтобы доказать ∫ с Дж → ⋅ ∇ ф д с "=" 0 Весь процесс выглядит следующим образом:

Первый, Дж → не может пройти через край поверхности, поэтому Дж → ⋅ т ^ "=" 0 , где л ^ - направление края поверхности и т ^ "=" л ^ × н ^ является краем наружу.

Во-вторых, по тождеству

∇ ⋅ ( А → × Б → ) "=" Б → ⋅ ( ∇ × А → ) − А → ⋅ ( ∇ × Б → ) ,
у нас есть
Дж → ⋅ ∇ ф "=" ∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ ∇ ф "=" ∇ ⋅ ( ψ н ^ × ∇ ф ) + ψ н ^ ⋅ ∇ × ∇ ф "=" ∇ ⋅ ( ψ н ^ × ∇ ф )
с
∇ × ( ф А → ) "=" ∇ ф × А → + ф ( ∇ × А )
ψ н ^ × ∇ ф "=" − ∇ × ( ф ψ н ^ ) + ф ∇ × ( ψ н ^ ) .
Затем
∇ ⋅ ( ψ н ^ × ∇ ф ) "=" ∇ ⋅ ( − ∇ × ( ф ψ н ^ ) + ф ∇ × ( ψ н ^ ) ) "=" ∇ ⋅ ( ф ∇ × ( ψ н ^ ) )
Окончательно,
∫ с Дж → ⋅ ∇ ф д с "=" ∫ с ∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ ∇ ф д с "=" ∫ с ∇ ⋅ ( ф ∇ × ( ψ н ^ ) ) д с "=" ∮ л ф ∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ т ^ д л "=" ∮ л ф Дж → ⋅ т ^ д л "=" 0 .

Я думаю, что здесь важны следующие вещи:

  1. Вообще говоря, бездивергентный ток обычно можно выразить как Дж → "=" ∇ × Т → , и Дж → "=" ∇ × ( ψ н ^ ) специально для поверхностного тока.

  2. в н ^ действует только на поверхности (нет смысла н ^ для точки в боку тела). интеграл находится на поверхности, а не на теле. Согласно исходной статье речь идет как раз о ПЭК и поверхностном токе.

Этот вопрос было чрезвычайно трудно понять, потому что весь TeX был перемешан, а пунктуация и использование заглавных букв были случайными. Пожалуйста, найдите время, чтобы использовать правильную английскую пунктуацию и т. д., чтобы люди могли понять, о чем вы спрашиваете. Я отредактировал математику, но я думаю, что предложения все еще испорчены.

Ответы (3)

Бездивергентный ток по-прежнему является достаточно общим векторным полем, поэтому его внутренний продукт с другим общим полем, градиентом, в общем случае наверняка не равен нулю.

Банальный контрпример. ψ н "=" ( у / 2 , − Икс / 2 , 0 ) . Затем ∇ × ( ψ н ) "=" ( 0 , 0 , 1 ) . С другой стороны, поле градиента может быть ( 0 , 0 , 1 ) "=" ∇ ⋅ ( 0 , 0 , г ) и внутренний продукт двух единиц г -векторы направления нигде не равны нулю.

Что могло бы сказать утверждение, с которым вы столкнулись, было

∇ × ( ∇ ⋅ ф ) "=" 0
что является одним из основных тождеств, которые могут быть легко доказаны.

Обновлять

ОП предоставил нам источник, и ясно, что они сделали другое, верное заявление. Внутренний продукт должен был быть не просто простым произведением двух 3-векторов, а внутренним продуктом в смысле гильбертова пространства.

б ( ты → , в → ) "=" ∫ д 3 Икс ты → ( Икс ) * ⋅ в → ( Икс )
интегрированы в пространство. Это исчезает, если ты → является кратным curl и в → является кратным градиенту. Это тривиально видно в импульсном пространстве, где
б ( ты → к , в → к ) "=" ∫ д 3 к А ( к → × Б → ) ⋅ ( С к → ⋅ Д )
Здесь, к × возникает из завитка и к → ⋅ возникает из-за градиента, а приведенный выше интеграл обращается в нуль (подынтегральная функция обращается в нуль для каждого к → , в этом представлении), поскольку к → ⋅ ( к → × М → ) ≡ 0 . Аналогичное доказательство в Икс -представление требует некоторого интегрирования по частям.

Спасибо Любош Мотл. Я согласен с вами. Я должен неправильно понять идею авторов. Я прочитал утверждение из этой статьи: docs.lib.purdue.edu/cgi/… На стр. 2, левый столбец, конец предпоследнего абзаца, упоминается: «... Две проблемы легко решаются в эта работа путем удаления компонента градиентного поля падающего поля и функции Грина при вычислении их внутренних произведений с бездивергентным током, поскольку аналитически известно, что внутреннее произведение между бездивергентным током и градиентным полем равно нулю ».
Это снова упоминается на странице 5, вокруг уравнения 32 и уравнения 33 '... Поскольку Вт 0 представляет бездивергентный ток, который можно записать как ∇ × ψ н ^ и поэтому н ^ × ∇ ψ с ψ будучи скаляром, можно аналитически доказать, что его скалярное произведение с полем градиента равно нулю...'
Хорошо, это другое утверждение, @user50510. Внутренний продукт должен быть похожим на квантовую механику интегралом векторных полей по пространству, а не просто поточечной скалярной функцией произведения пространства. Смотрите мой обновленный ответ для быстрого доказательства.
спасибо Любош Мотл. Теперь я понимаю, почему, но процесс выглядит немного сложным, мне интересно, есть ли более простой процесс.
Вы можете выполнить интегрирование по частям, чтобы уменьшить его до завиток ⁡ выпускник "=" 0 или див ⁡ завиток "=" 0 .

я думаю написать ∇ × ( ψ н ^ ) как ∇ ψ × н ^ заключается в выражении антисимметрии между ф и ψ и подготовить ∇ ψ для Дж → компонент в финальном выражении, немного облегчит получение ответа, Дж → ⋅ ∇ ф "=" ∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ ∇ ф _ "=" ( ∇ ψ × н ^ ) ⋅ ∇ ф "=" ∇ ψ ⋅ ( н ^ × ∇ ф ) "=" − ∇ ψ ⋅ ∇ × ( ф н ^ ) _

а затем использовать ∇ ⋅ ( А → × Б → ) "=" Б → ⋅ ( ∇ × А → ) − А → ⋅ ( ∇ × Б → ) включить выражение в оператор дивергенции поверхности ∇ ⋅ ( ) , так

- ∫ с ∇ ψ ⋅ ∇ × ( ф н ^ ) д с "=" ∫ с ∇ ⋅ ( ∇ ψ × ф н ^ ) д с − ∫ с ф н ^ ⋅ ∇ × ∇ ψ д с "=" ∮ л ( ∇ ψ × ф н ^ ) ⋅ т ^ д л "=" ∮ л ф Дж → ⋅ т ^ д л "=" 0

Хорошо, другой путь - представить ∇ × ( ψ н ^ ) ⋅ ∇ ф "=" ∇ ψ × н ^ ⋅ ф "=" н ^ ⋅ ( ∇ ф × ∇ ψ ) "=" н ^ ⋅ ( ∇ × ( ф ∇ ψ ) − ф ∇ × ∇ ψ ) "=" н ^ ⋅ ∇ × ( ф ∇ ψ ) , где тождество ∇ × ( ф А → ) "=" ∇ ф × А → + ф ∇ × А → используется. то по теореме Стокса ∫ с ∇ × ( ф ∇ ψ ) ⋅ н ^ д с "=" ∮ л ф ∇ ψ ⋅ д л → "=" ∮ л ф ∇ ψ ⋅ ( н ^ × т ^ ) д л "=" ∮ л ф ∇ ψ × н ^ ⋅ т ^ д л "=" ∮ л ф Дж → ⋅ т ^ д л "=" 0

Почему скалярное произведение между бездивергентным током J⃗J→\vec{J} и градиентным полем ∇φ∇φ\nabla \varphi равно нулю?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v