Вывод уравнения Ефименко в книге Джексона по ЕМТ

Question

Вывод уравнения Ефименко в книге Джексона по ЕМТ

Весног

Я пытался понять вывод уравнения Ефименко у Джексона на стр. 246-247, который можно увидеть на прилагаемых фотографиях. Прежде всего, я не полностью понял преобразование между двумя обозначениями в квадратных скобках: одно с ∇ 'внутри квадратных скобок и другое вне них. Как выбирается минус/плюс в уравнениях (6.53 и 6.54). Кроме того, после преобразования (6.54) и подстановки в (6.52) интегрирование по частям применяется к первому члену (тому, что с завитком) и фактически два члена, а одним безосновательно пренебрегают. Я был бы признателен, если бы кто-то мог предоставить обоснование для этого. Трансформация выглядит следующим образом:

\nabla^{'} \times (\frac{\vec{Дж}}{р}) "=" \frac{\vec{Дж} \times (\nabla^{'} р) + р \nabla^{'} \times \vec{Дж}}{р^{2}}

$\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})=\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)+R\nabla'\times \vec{J}}{R^2}$ Следовательно

\frac{\nabla^{'} \times \vec{Дж}}{р} "=" \nabla^{'} \times (\frac{\vec{Дж}}{р}) - \frac{\vec{Дж} \times (\nabla^{'} р)}{р^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Тем не менее, по-видимому, в уравнении (6.56) пренебрегается первым слагаемым в правой части, есть ли этому оправдание?

РЕДАКТИРОВАТЬ После замены вы получаете термин на LHS. Мы преобразуем этот член, подчиняясь тождествам векторного исчисления (я доказал это в тензорной записи и проверил результат в Гриффитсе между прочим), затем мы приходим к двум терминам, а при интегрировании первый член в правой части, который равен $\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})$ пренебрегают в 6.56 . Интересно, как вы можете оправдать это пренебрежение.

\frac{\nabla^{'} \times \vec{Дж}}{р} "=" \nabla^{'} \times (\frac{\vec{Дж}}{р}) - \frac{\vec{Дж} \times (\nabla^{'} р)}{р^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$ введите описание изображения здесь

Гаутам1168

Я ответил на первый заданный вами вопрос. Но я не могу понять, как работает интегрирование по частям. Можете ли вы показать, как выполняется интегрирование по частям и что это за два термина?

Весног

@ gautam1168 gautam1168 Спасибо за ваш ответ. Для интегрирования по частям для магнитного поля вы подставляете 6,54 в 6,52 , также называемое предварительным решением в тексте. Я редактирую вопрос, чтобы указать срок, который вы получите.

Гаутам1168

Я тоже не могу понять. Посмотрим, может ли кто-то еще ответить на это. Я тем временем продолжу попытки.

Весног

@ gautam1168 gautam1168 Вы можете проверить мой последний ответ, если вам интересно.

Ответы (2)

Вывод уравнения Ефименко в книге Джексона по ЕМТ

Я ответил на первый заданный вами вопрос. Но я не могу понять, как работает интегрирование по частям. Можете ли вы показать, как выполняется интегрирование по частям и что это за два термина?
@ gautam1168 gautam1168 Спасибо за ваш ответ. Для интегрирования по частям для магнитного поля вы подставляете 6,54 в 6,52 , также называемое предварительным решением в тексте. Я редактирую вопрос, чтобы указать срок, который вы получите.
Я тоже не могу понять. Посмотрим, может ли кто-то еще ответить на это. Я тем временем продолжу попытки.
@ gautam1168 gautam1168 Вы можете проверить мой последний ответ, если вам интересно.

Гаутам1168 · Answer 1

Преобразование квадратных скобок

Это всего лишь применение цепного правила. LHS означает производную по пространственным координатам со штрихом при сохранении фиксированных пространственных и временных координат без штриха.

\nabla^{'} [р ({Икс}^{'}, т^{'})]_{р е т} "=" (\sum_{я} \frac{\partial}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \hat{я}) [р ({Икс}_{я}^{'}, {Икс}_{Дж}^{'}, {Икс}_{к}^{'}, т^{'})]_{р е т}

$\nabla'[ \rho(\mathbf{x'},t')]_{ret} = \left(\sum_i \frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}\right)[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Но

ρ

$\rho$ также является функцией загрунтованной временной координаты. Таким образом, оператор градиента должен применяться с использованием цепного правила.

"=" {\sum_{я} (\frac{\partial {Икс}_{я}^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \frac{\partial}{\partial {Икс}_{я}^{'}} + \frac{\partial {Икс}_{Дж}^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \frac{\partial}{\partial {Икс}_{Дж}^{'}} + \frac{\partial {Икс}_{к}^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \frac{\partial}{\partial {Икс}_{к}^{'}} + \frac{\partial т^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}) \hat{я}} [р ({Икс}_{я}^{'}, {Икс}_{Дж}^{'}, {Икс}_{к}^{'}, т^{'})]_{р е т} "=" {\sum_{я} (\frac{\partial}{\partial {Икс}_{я}^{'}} + 0 + 0 + \frac{\partial т^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}) \hat{я}} [р ({Икс}_{я}^{'}, {Икс}_{Дж}^{'}, {Икс}_{к}^{'}, т^{'})]_{р е т}

$=\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial x_i'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_i'} + \frac{\partial x_j'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_j'} + \frac{\partial x_k'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_k'} + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\ =\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} + 0+ 0 + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Таким образом, штрихованные пространственные производные берутся при сохранении постоянного штрихового t.

"=" {(\frac{\partial}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \hat{я} + \frac{\partial}{\partial {Икс}_{Дж}^{'}} \hat{Дж} + \frac{\partial}{\partial {Икс}_{к}^{'}} \hat{к}) + (\frac{\partial т^{'}}{\partial {Икс}_{я}^{'}} \hat{я} + \frac{\partial т^{'}}{\partial {Икс}_{Дж}^{'}} \hat{Дж} + \frac{\partial т^{'}}{\partial {Икс}_{к}^{'}} \hat{к}) (\frac{\partial}{\partial т^{'}})} [р]_{р е т} "=" [\nabla^{'} р]_{р е т} + \nabla^{'} (т^{'}) {[\frac{\partial р}{\partial т^{'}}]}_{р е т}

$=\left \lbrace \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial }{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial }{\partial x_k'} \hat{k}\right) + \left(\frac{\partial t'}{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial t'}{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial t'}{\partial x_k'} \hat{k}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t'}\right) \right \rbrace[\rho]_{ret}\\ =[\nabla'\rho]_{ret} + \nabla'(t')\left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret}$

Где $\nabla'$ действует, сохраняя $t'$ фиксированная и производная относительно $t'$ берется при сохранении фиксированных пространственных координат со штрихом. Так,

[\nabla^{'} р]_{р е т} "=" \nabla^{'} [р]_{р е т} - {[\frac{\partial р}{\partial т^{'}}]}_{р е т} \nabla^{'} (т - р / с)

$[\nabla' \rho]_{ret} = \nabla'[\rho]_{ret} - \left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret} \nabla'(t-R/c)$

Весног · Answer 2

\frac{\nabla^{'} \times \vec{Дж}}{р} "=" \nabla^{'} \times (\frac{\vec{Дж}}{р}) - \frac{\vec{Дж} \times (\nabla^{'} р)}{р^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Благодаря профессору Ю. Ф. Чену я смог это понять. В то время как в интеграле первый член в правой части может быть преобразован в поверхностный интеграл, как показано ниже:

\int \nabla^{'} \times (\frac{\vec{Дж}}{р}) г^{3} {Икс}^{^{'}} "=" \oint (\vec{н} \times \frac{\vec{Дж}}{р}) г^{2} {Икс}^{^{'}}

$\int\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})d^3x^{'}=\oint(\vec{n}\times\frac{\vec{J}}{R})d^2x^{'}$

Поскольку интегрирование происходит во всем пространстве, а источник тока обращается в нуль на бесконечности, поверхностный интеграл от этого члена, а значит, и интеграл по объему, равен нулю. Обоснование следующее:

\int (\partial_{я} А_{Дж} - \partial_{Дж} А_{к}) г^{3} {Икс}^{^{'}} "=" \int (н_{я} А_{Дж} - н_{Дж} А я) г^{2} {Икс}^{^{'}}

$\int(\partial_iA_j-\partial_jA_k)d^3x^{'}=\int (n_iA_j-n_jAi)d^2x^{'}$

Вывод уравнения Ефименко в книге Джексона по ЕМТ

Весног

Гаутам1168

Весног

Гаутам1168

Весног

Ответы (2)

Гаутам1168

Весног

Весног

ı^ı^\hat{\imath} компонента силы, действующей на электрон со стороны магнитного поля?

Физическая интерпретация закона АМПЕРА [закрыто]

Пример лягушки на магнитной подушке

Почему закон Ленца не предсказывает поведение стержня на пружинах в магнитном поле?

Есть ли интуитивное объяснение того, почему сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитному полю?

Давление, возникающее из-за магнитной силы?

Закон Фарадея от силы Лоренца в случае движущегося проводящего стержня: как должны быть ориентированы векторы?

Нахождение предела для θθ\theta

Путаница с законом Ампера [закрыто]

Является ли магнитная сила неконсервативной? [дубликат]