Как получить начальные условия для изображения черной дыры Керра?

Я читаю Gravitational Lensing by Spinning Black Holes in Astrophysics и в фильме Interstellar, чтобы создать код трассировки лучей для изображения черных дыр Керра. В статье представлены координатный наблюдатель, перпендикулярный временным слоям черной дыры Керра, с координатами Бойера-Линдквиста и камера с собственной системой отсчета. Связь между этой системой отсчета изображена на этом изображении из статьи:

Эталонная система камеры и FIDO

В Приложении A.1 документ предоставляет способ преобразования начальных условий в системе отсчета камеры в систему отсчета Fiducial Observer. Это делается следующим образом:

  1. Укажите местоположение камеры ( р с , θ с , ф с ) , и его скорость β и компоненты Б р , Б θ , Б ф направления его движения относительно FIDO в месте его нахождения; и укажите входящее направление луча ( θ с с , ф с с ) на локальном небе камеры.
  2. Вычислите в правильной системе отсчета камеры декартовы компоненты (верхний рисунок) единичного вектора. Н который указывает в направлении падающего луча
    Н Икс "=" грех ⁡ θ с с потому что ⁡ ф с с , Н у "=" грех ⁡ θ с с грех ⁡ ф с с , Н г "=" потому что ⁡ θ с с
    .
  3. Используя уравнения для релятивистской аберрации, вычислите направление движения падающего луча, н Ф , измеренный FIDO в декартовых координатах, совмещенных с координатами камеры:
    н Ф у "=" − Н у + β 1 − β Н у , н Ф Икс "=" − 1 − β 2 Н Икс 1 − β Н у , н Ф г "=" − 1 − β 2 Н г 1 − β Н у
    4. Из них вычислите компоненты nF на сферическом ортонормированном базисе FIDO :
    н Ф р "=" Б ф κ н Ф Икс + Б р н Ф у + Б р Б θ κ н Ф г
    н Ф θ "=" Б θ н Ф у − κ н Ф г
    н Ф ф "=" − − Б р κ + Б ф н Ф у + Б θ Б ф κ н Ф г

где κ "=" 1 − Б θ 2 "=" Б р 2 + Б ф 2 .

Вопрос в том, как получить уравнения в пункте 4 (эти последние уравнения). Я не знаю, как связать систему отсчета FIDO с камерой. Я знаю, что отношение на изображении, но я не знаю, как правильно получить эти уравнения.

Можете ли вы предоставить подробный расчет того, как прийти к этим последним уравнениям?

Всю информацию, отсутствующую в этом вопросе, можно найти в статье.

Ответы (1)

В конечном счете, мы просто конвертируем сферическую систему координат в декартову. Я постараюсь придерживаться обозначений статьи с одним важным изменением: компоненты векторов будут обозначаться верхними индексами, а нижние индексы будут зарезервированы для определения того, на какой вектор из набора имеется ссылка.

У нас есть вектор н (иначе н Ф ), и мы знаем его компоненты в декартовых координатах н Икс , н у , н г . Нам нужны его сферические координаты н р ^ , н θ ^ , н ф ^ . Базисные векторы для декартовой системы: е Икс , е у , е г , а для сферической системы е р ^ , е θ ^ , е ф ^ , где шляпы напоминают нам, что это ортонормальный базис , а не столь же распространенный ортогональный координатный базис. 1 Нам нужно выразить один базис через другой, где мы можем предположить, что у нас есть компоненты Б р ^ , Б θ ^ , Б ф ^ единичного вектора Б указывая направление движения камеры. 2 Точное определение базиса дано в §2.1, пункт (iii) статьи.

Процедура может быть выполнена в следующих шагах:

  1. Определять е у "=" Б . Тогда мы можем тривиально написать е у в нашем сферическом основании:

    (1) е у "=" Б р ^ е р ^ + Б θ ^ е θ ^ + Б ф ^ е ф ^ .

  2. Ищем сферические компоненты е Икс . Так как мы берем е Икс е охватывать ⁡ ( е р ^ , е ф ^ ) , мы знаем, что можем написать е Икс "=" е Икс р ^ е р ^ + е Икс ф ^ е ф ^ . У нас есть ограничения ортогональности и нормализации

    0 "=" е у ⋅ е Икс "=" Б р ^ е Икс р ^ + Б ф ^ е Икс ф ^ 1 "=" е Икс ⋅ е Икс "=" ( е Икс р ^ ) 2 + ( е Икс ф ^ ) 2 .
    Решение этой системы уравнений говорит нам
    (2) е Икс "=" Б ф ^ κ е р ^ − Б р ^ κ е ф ^ ,
    где был сделан произвольный выбор знака.

  3. Два ограничения ортогональности, одно ограничение нормализации и другой выбор знака (который определяет отношение хиральности между системами координат) определяют три сферических компонента е г . Уравнения

    0 "=" е у ⋅ е г "=" Б р ^ е г р ^ + Б θ ^ е г θ ^ + Б ф ^ е г ф ^ 0 "=" е Икс ⋅ е г "=" Б ф ^ κ е г р ^ − Б р ^ κ е г ф ^ 1 "=" е г ⋅ е г "=" ( е г р ^ ) 2 + ( е г θ ^ ) 2 + ( е г ф ^ ) 2
    Решение этой системы дает
    (3) е г "=" Б р ^ Б θ ^ κ е р ^ − κ е θ ^ + Б θ ^ Б ф ^ κ е ф ^ .

  4. Наконец, мы просто собираем коэффициенты из (1), (2) и (3). Например,

    н р ^ "=" е Икс р ^ н Икс + е у р ^ н у + е г р ^ н г "=" Б ф ^ κ н Икс + Б р ^ н у + Б р ^ Б θ ^ κ н г .

1 Под координатной базой я подразумеваю ту, в которой е р масштабы пропорциональны р , так что, например, у нас есть ‖ е р ‖ "=" р вместо ‖ е р ^ ‖ "=" 1 . Такой базис был бы удобен, если бы мы рассматривали векторы, исходящие из разных точек (как это действительно делается при фактическом интегрировании нулевых геодезических), но, поскольку мы рассматриваем единичные векторы направлений только в одной точке (местоположении камеры), мы не нам нечего терять, делая наш базис ортонормированным.

2 То, что это направление движения, не имеет значения для этого вывода.

Как получить начальные условия для изображения черной дыры Керра?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v