Локально-плоская координата и Локально-инерциальная система отсчета

Question

Локально-плоская координата и Локально-инерциальная система отсчета

аноним67

У меня есть некоторые сомнения относительно вышеупомянутых концепций общей теории относительности.

Во-первых, я хочу указать, как я понимаю их до сих пор.

Наблюдатель-мужчина следует по времениподобной мировой линии ( $\gamma$ ) в пространстве-времени (потому что у него должно быть собственное время). У него есть рамка для себя.

Координата — это набор чисел, который наблюдатель использует для описания пространства-времени в своей системе отсчета (это еще один способ сказать пространство-время в его представлении).

Локально плоская координата наблюдателя в момент времени ( $s\in\gamma$ ) — это координата (конечно, его репера), в которой он видит, что метрический тензор в окрестности его положения является плоской метрикой (символы Кристоффеля исчезают):

г_{мю ν} (с) "=" η_{мю ν}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Г_{мю ν}^{р} (с) "=" 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

Эта координата зависит от наблюдателя и используется им естественным образом.

Теперь локально инерциальная система отсчета — это система отсчета любого свободно падающего наблюдателя или любого наблюдателя, следующего за геодезической ( $l$ ). Он может использовать или не использовать локально плоскую координату самого себя. Но у него есть очень особенная координата, которая является локально плоской в каждой точке его мировой линии:

\forall с е л :

$\forall s\in l:$

г_{мю ν} (с) "=" η_{мю ν}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Г_{мю ν}^{р} (с) "=" 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

Есть ли у меня какое-либо недопонимание или неправильное использование терминологии?

Теперь должен быть свободно падающий наблюдатель $A$ (со своей специальной координатой) и его мировая линия пересекает мировую линию другого (не свободно падающего) наблюдателя $B$ . А в точке пересечения могу ли я поверить, что две координаты (двух систем отсчета) могут быть выбраны локально одинаковыми (или равными) (то есть существует линейное преобразование, локально переводящее одно в другое)?

левитофер

Я считаю, что производные метрики также должны обращаться в нуль в локально-инерциальной системе отсчета, что неверно для локально-плоской системы отсчета.

аноним67

В моей терминологии нет локально плоского репера. Есть только локально плоская КООРДИНАТА системы отсчета, и эта система может быть локально инерциальной или нет.

левитофер

Это должно быть то же самое. Вы можете выбрать координаты так, чтобы метрика в этих координатах была плоской. Я не думаю, что эти два выбора можно сделать одновременно, потому что производные не обязательно равны нулю в локально плоском случае.

аноним67

я думал

Γ = 0

$\Gamma = 0$ является необходимым условием равенства нулю частной производной? Можете ли вы дать ссылку на определение локально инерциальной системы отсчета?

Кристоф

Дополнительный вопрос: что произойдет, если вместо этого наблюдатель окажется женщиной? ;)

левитофер

Γ

$\Gamma$ представляет собой сумму метрических производных, поэтому она может быть равна нулю без того, чтобы сами производные были равны нулю. Я думаю, что правильнее сказать, что «первые производные метрики обращаются в нуль», а не

Γ = 0

$\Gamma=0$ . Может ли кто-нибудь поправить меня в этом?

левитофер

Далее: вы говорите о нормальных координатах Ферми? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates

аноним67

Координаты Ферми, да, я думаю. Это именно та особая координата, которую я упомянул.

аноним67

@levitopher Я думал, что все символы Кристоффеля исчезают, означают, что все частные производные первого порядка исчезают?

левитофер

Это может быть аргументом в пользу этого в некоторых конкретных обстоятельствах, но поскольку

Γ = A + B - C

$\Gamma = A+B-C$ , где

A

$A$ ,

B

$B$ , и

C

$C$ являются производными первого порядка от метрики,

Γ = 0

$\Gamma=0$ не подразумевает

A = B = C = 0

$A=B=C=0$ . Например,

A = x

$A=x$ ,

B = x

$B=x$ ,

C = 2 x

$C=2x$ .

Ответы (4)

Локально-плоская координата и Локально-инерциальная система отсчета

Я считаю, что производные метрики также должны обращаться в нуль в локально-инерциальной системе отсчета, что неверно для локально-плоской системы отсчета.
В моей терминологии нет локально плоского репера. Есть только локально плоская КООРДИНАТА системы отсчета, и эта система может быть локально инерциальной или нет.
Это должно быть то же самое. Вы можете выбрать координаты так, чтобы метрика в этих координатах была плоской. Я не думаю, что эти два выбора можно сделать одновременно, потому что производные не обязательно равны нулю в локально плоском случае.
я думал $\Gamma = 0$ является необходимым условием равенства нулю частной производной? Можете ли вы дать ссылку на определение локально инерциальной системы отсчета?
Дополнительный вопрос: что произойдет, если вместо этого наблюдатель окажется женщиной? ;)
$\Gamma$ представляет собой сумму метрических производных, поэтому она может быть равна нулю без того, чтобы сами производные были равны нулю. Я думаю, что правильнее сказать, что «первые производные метрики обращаются в нуль», а не $\Gamma=0$ . Может ли кто-нибудь поправить меня в этом?
Далее: вы говорите о нормальных координатах Ферми? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
Координаты Ферми, да, я думаю. Это именно та особая координата, которую я упомянул.
@levitopher Я думал, что все символы Кристоффеля исчезают, означают, что все частные производные первого порядка исчезают?
Это может быть аргументом в пользу этого в некоторых конкретных обстоятельствах, но поскольку $\Gamma = A+B-C$ , где $A$ , $B$ , и $C$ являются производными первого порядка от метрики, $\Gamma=0$ не подразумевает $A=B=C=0$ . Например, $A=x$ , $B=x$ , $C=2x$ .

Джулио Буллсейвер · Answer 1

В самом общем случае, описываемом общей теорией относительности, невозможно найти $neighbourhood$ покрытые координатами $x^\mu$ такой, что $g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ во всех U. Если бы это было так, у вас был бы нулевой тензор Римана, следовательно, пространство-время было бы плоским во всех U. У вас могут быть пространства-времена с такими плоскими кусками (я думаю, что нет проблем склеить этот кусок с неплоские куски, но я могу ошибаться), но это не самый общий случай и не то, что имеется в виду, когда мы говорим, что пространство-время локально плоское.

Мы имеем в виду, что касательное пространство в любой точке есть пространство-время Минковского.

Это означает, что для любой точки p вы можете найти базис касательного пространства в точке p (и связанные с ним «экспоненциальные» координаты), чтобы метрика была diag(-,+,+,+) в этих координатах в этой точке p и коэффициенты конфессии обращаются в нуль в этой точке (не в окрестности!)

Вы можете думать об этих координатах как о координатах инерциального наблюдателя. Обратите внимание, что существует несколько возможных координат, которые связаны преобразованием Лоренца в касательном пространстве и связаны с разными наблюдателями.

В каком смысле вы можете думать об этих координатах как о координатах инерциального наблюдателя? В том смысле, что пока вы покрываете достаточно малую окрестность точки p, размерность которой будет «тем меньше, чем больше тензор Римана в точке p», вы можете описывать все, что здесь происходит, как если бы вы были в специальной теории относительности. Прежде всего, геодезические имеют вид $d/dt^2 x(\tau) = 0$ и не ускоряются относительно друг друга. Конечно, на самом деле они есть, но эти эффекты малы, если учесть малую окрестность точки p и малый Риман в точке p.

Аналогично, Земля плоская в какой-то точке в том смысле, что вы можете «перепутать» плоское касательное пространство с реальной окрестностью, потому что различия трудно обнаружить, если вы достаточно увеличите масштаб.

левитофер · Answer 2

В свете наших уточняющих дискуссий я считаю, что ответ положительный.

Я нашел хороший раздел о координатах нормали Ферми здесь (Раздел 9):

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-7/fulltext.html

Кажется, это то, что вы подразумеваете под «Локально инерционными координатами» - тетрада ортонормирована с одним направлением вдоль кривой, а другими - вдоль пространственноподобных кривых, ортогональных кривой.

Поскольку вы можете определить нормальные координаты Ферми в любом месте времяподобной геодезической, задайте их на пересечении двух геодезических. Они определяют плоскую метрику, поэтому нет никаких причин, по которым вы не могли бы выбрать эту метрику в качестве тетрады для другого наблюдателя в той же точке.

изображение357 · Answer 3

Если наблюдатель не находится в свободном падении, метрический тензор $g_{\mu,\nu}(s)$ в положении наблюдателя, выраженном в местных координатах вокруг наблюдателя, не будет $\eta_{\mu,\nu}$ . Ваше первое предположение о пути $(\gamma)$ неправильно.

Я предполагаю, что вы стремитесь к понятию пространства координат вокруг точки, которое действительно является плоским пространством (поскольку оно (псевдо-) евклидово). Однако это пространство служит только для введения координат в открытое подмножество вашего многообразия с помощью отображения, гомеоморфного открытому подмножеству этого (псевдо)-евклидова пространства. Это означает, что открытое подмножество вашего многообразия совершенно такое же (с точностью до деформации , то есть кривизны!!!) как (псевдо-)евклидово подмножество.

пользователь122637 · Answer 4

Я думаю, что лучший способ думать об этом заключается в следующем. (Это не слишком отличается от того, что говорили все, но может быть рассмотрено в лучшей перспективе).

Выбор системы отсчета — это совсем другая работа, чем установка координат. Чтобы наблюдать событие в пространстве-времени, вы должны принадлежать к какой-то системе отсчета (или, что то же самое, вы создаете систему отсчета, скажем, S, где $\frac{d \vec{r}_{you}}{dt}$ из кадра S всегда 0). Обратите внимание, что я еще не определил никаких координат. Далее я укажу координаты только для того, чтобы объяснить движение других тел относительно моей системы отсчета.

Понятно, что координаты могут быть определены только после того, как вы выбрали свою систему отсчета . Всякий раз, когда мы делаем преобразование пространственно-временных координат , скажем, $x^\mu\rightarrow x^{\mu}{'}$ , то мы, безусловно, меняем систему отсчета . Однако если мы делаем какое-то преобразование без какого-либо t, появляющегося в уравнениях преобразования , это изменение координат .

Далее, из всего, что я читал или встречал, значения двух ключевых терминов следующие:

Локально инерционные/плоские координаты: декартовы/евклидовы координаты, отложенные относительно некоторой точки X в общем искривленном пространстве.
Локально инерциальные кадры: кадры, допускающие использование локально инерционных/плоских координат в качестве одного из вариантов выбора.

Надеюсь это поможет.

Локально-плоская координата и Локально-инерциальная система отсчета

аноним67

левитофер

аноним67

левитофер

аноним67

Кристоф

левитофер

левитофер

аноним67

аноним67

левитофер

Ответы (4)

Джулио Буллсейвер

левитофер

изображение357

пользователь122637

Тензорные уравнения в общей теории относительности

Локальные инерциальные координаты/нормальные координаты Ферми

Система отсчета — это любая система координат или просто набор декартовых осей?

Уточнение о локальном преобразовании Лоренца

Интерпретация нормальных координат

Как на самом деле можно определить бесконечное семейство моментально сопутствующих систем отсчета (MCRF)?

О символе Кристоффеля и векторных полях

6 независимых уравнений поля Эйнштейна?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Что свидетельствует об интерпретации gμνgμνg_{\mu\nu} как метрики пространства-времени?