Уточнение о локальном преобразовании Лоренца

Активное преобразование: изменяются векторы и другие геометрические величины.

Пассивное преобразование: векторы (за исключением векторов базиса) и другие геометрические величины не меняются, но изменяется базис (например, базис координат), поэтому компоненты вектора изменяются, даже если сам вектор не меняется.

Локальное преобразование Лоренца: координаты в окрестности некоторого события в пространстве-времени меняются, а координаты вдали от этого события мы не комментируем. Это понятие всегда является четко определенной идеей в любом лоренцевом многообразии.

Глобальное преобразование Лоренца: координаты в пространстве-времени изменяются одним и тем же преобразованием Лоренца, применяемым повсюду. Это не всегда четко определенная идея в искривленном пространстве.

В вашем вопросе у вас, похоже, есть путаница между глобальным и активным. Это разные идеи.

Вот несколько конкретных примеров, которые могут пролить дополнительный свет на этот вопрос. Рассмотрим многообразие$\mathcal M = \mathbb R \times \mathrm S^1$, то есть цилиндр. Точки$p\in \mathcal M$можно обозначить тройкой$(z,a,b)$, где$z\in \mathbb R$и$a^2+b^2=1$. Важно отметить, что$(z,a,b)$это не координаты$p$на каком-то графике, так как$\mathcal M$является двумерным многообразием.

---

Локальное активное преобразование является диффеоморфизмом$\phi : U \rightarrow U$, где$U\subset \mathcal M$это какой-то район. В нашем случае выберем

$$U := \big\{ (z,a,b) \in \mathbb R \times \mathrm S^1 \ \bigg| \ a > 0\}$$ $$\phi : U \ni (z,a,b) \mapsto (z+1,a,b)$$ В словах,$\phi$просто смещает точки многообразия вдоль цилиндрической оси на одну единицу.

---

Локальное , пассивное преобразование — это изменение карты. Позволять$x$быть картой диаграммы, определенной на подмножестве$U$как и прежде, определяется

$$x:(z,a,b) \mapsto \big(z, \tan^{-1}(b/a)\big)\in \mathbb R^2$$ Теперь пусть$y$быть другой картой диаграммы, определяемой $$y : (z,a,b) \mapsto (z^3, \tan^{-1}(b/a)\big)\in \mathbb R^2$$

Карта перехода диаграммы$(y \circ x^{-1}):(z,\theta) \mapsto (z^3 ,\theta)$карты из$x$координаты на$y$координаты. Однако это не карта из$U\rightarrow U$; точки$p\in U$на самом деле никуда не делись, мы просто выбираем для них разные лейблы.

---

Глобальное активное преобразование является диффеоморфизмом$\Phi: \mathcal M\rightarrow \mathcal M$. В качестве примера мы могли бы позволить

$$\Phi :\mathcal M \ni (z,a,b) \mapsto (z,-a,-b)$$

---

Глобальное пассивное преобразование — это изменение карты, при которой каждая карта охватывает все многообразие. Одна из таких диаграмм следующая:

$$x : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^2-\{(0,0)\}$$ $$(z,a,b) \mapsto (e^za, e^z b)$$ Другим примером может быть $$y: \mathcal M \rightarrow \mathbb R^2-\{(0,0)\}$$ $$(z,a,b) \mapsto (-e^z b, e^z a)$$ Карта перехода диаграммы$(y \circ x): (\alpha,\beta) \mapsto (-\beta,\alpha)$, что соответствует$90^\circ$вращение. Еще раз обратите внимание, что на самом деле это не перемещение точек в$\mathcal M$вокруг; это просто изменение ярлыков.

---

Наконец, преобразование Лоренца — это преобразование, сохраняющее метрику Минковского. Активное преобразование Лоренца — это (глобальный или локальный) диффеоморфизм, который также является изометрией метрики Минковского; пассивное преобразование Лоренца — это (глобальное или локальное) изменение карты , сохраняющее форму метрики Минковского, т. е.

$$\frac{\partial x^i}{\partial y^a} \frac{\partial x^j}{\partial y^b} \eta_{ij} = \eta_{ab}$$