Как получить тензор кривизны Римана из коммутатора, работающего на базисном векторе

Далее предполагается, что базисные векторы являются изменяющимися функциями положения. Это означает, что когда вектор появляется под оператором дифференцирования, как компоненты, так и базисные векторы, как правило, будут дифференцированы в соответствии с правилом произведения. Подчеркивание указывает на то, что конкретный термин должен оставаться постоянным во время дифференцирования.

Del, работающий с вектором, записывается как

$$\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}.$$

Базисные 1-формы будем рассматривать как контравариантные базисные векторы. Итак, в координатной основе имеем

$$\mathfrak{e}^{\sigma}=dx^{\alpha}.$$

Del, за которым следует «точечный вектор», сокращает индекс дифференциации. Это называется производной по направлению.

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}=\frac{\partial\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}}{\partial x^{\omega}}w^{\omega}.$$

В частности, частная производная по

$$\nabla\left[\varphi\right]\cdot\mathfrak{e}_{\delta}=\partial_{\delta}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x^{\delta}}$$

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\omega}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial x^{\omega}}.$$

Del, которому предшествует «векторная точка», сокращает аргумент del.

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]$$

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}$$

Размещение черты под индексом (или в mathjax чертой над индексом) указывает на компонент, живущий в касательной плоскости. Итак$\beta$базисный вектор, живущий в многообразии, может быть выражен на касательном базисе как

$$\mathfrak{e}_{\beta}=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}.$$

$$\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]=\partial_{\bar{\gamma}}\left[\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\partial_{\bar{\gamma}}\left[\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

Каким бы неортодоксальным это ни казалось, обратите внимание, что это приводит к традиционной форме коэффициента связи

$$\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}=\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\gamma}}}{\partial x^{\gamma}}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\gamma}\partial x^{\beta}}=\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}.$$

Поскольку я использую квадратные скобки для заключения списков параметров, я использую двойные квадратные скобки$\left[\![\_,\_\right]\!]$для обозначения коммутатора. Как указано выше, я использую нотацию скалярного произведения взаимозаменяемо с нотацией сокращения.

Приведенное выше обозначение оказалось бесценным во многих случаях. Он должен работать, чтобы получить тензор кривизны Римана, начиная с уравнения MTW 8.44. К сожалению, я не нашел способа перевести крайний правый термин в той форме, к которой я пришел, в термины, включающие произведения символов Кристоффеля.

Кто-нибудь видит способ сделать эту работу? Первая строка следующего скриншота — это кадр в темноте.

Это более традиционный вывод, основанный на упражнении 11.3 MTW (которое включает решение).