Тензор Киллинга и тождество тензора Римана

Я знаю, что если у нас есть вектор Киллинга , то показать личность несложно:

∇ а ∇ б К с "=" р с б а к К г

Теперь я пытаюсь показать следующую идентичность для ( 0 , 2 ) Тензор убийства :

∇ ( а ∇ б К с ) г "=" − р г ( а б е К с ) е

Я знаю, что должен использовать тот факт, что тензор Киллинга К а б симметричен и удовлетворяет ∇ ( а К б с ) "=" 0 .

я пробовал выписывать

( ∇ а ∇ б − ∇ б ∇ а ) К с г "=" р а б с е К с е + р а н г е К г е
и принимая различные перестановки над a, b и c, но не смог добиться большого прогресса в этом и был бы признателен за некоторое понимание этого!

Я также задавался вопросом, обобщаются ли такие тождества? Всегда ли у нас есть отношение к ( 0 , н ) Тензор убийства, который связывает его вторые производные с алгебраическим отношением с тензором Римана?

Расчеты и ссылки, представленные в этой статье ( arxiv.org/abs/0907.5470 ) Кука и Дрея, могут оказаться полезными. См., в частности, теорему 1 на стр. 4.
Вы уверены, что это утверждение верно? ∇ ( а ∇ б К с г ) "=" ∇ а ∇ ( б К с г ) + ∇ б ∇ ( а К с г ) + ∇ с ∇ ( а К б г ) + ∇ г ∇ ( а К б с ) . Согласно уравнению убийства, каждый член в RHS является производной везде нулевой функции, следовательно, LHS равен 0. Таким образом, похоже, что ваш LHS должен тождественно равен нулю.
@bianchira Да, спасибо, что заметили это! Симметризация должна быть только вокруг a, b и c, я сейчас отредактировал.

Ответы (1)

В первую очередь нам понадобится уравнение:

(1) 2 ∇ [ а ∇ б ] К с г "=" р а б с е К е г + р а б г е К с е "=" 2 р а б ( с К г ) е .
У нас есть:
р г ( б а е К с ) е "=" 1 3 ( р г б ( а е К с ) е + р г а ( б е К с ) е + р г с ( б е К а ) е ) "=" 1 3 ( ∇ [ г ∇ б ] К а с + ∇ [ г ∇ а ] К б с + ∇ [ а ∇ с ] К б а ) ,
где мы использовали уравнение (1) . Теперь выразим некоторые члены так, чтобы индекс г удаляется из ковариантных производных с помощью ∇ ( а К б с ) "=" 0 , поэтому предыдущее выражение становится:
1 3 ! ( ∇ г ∇ б К а с + ∇ б ∇ а К г с + ∇ б ∇ с К а г + ∇ г ∇ а К б с + ∇ а ∇ б К г с + ∇ а ∇ с К г б + ∇ г ∇ с К б а + ∇ с ∇ б К г а + ∇ с ∇ а К б г ) "=" ∇ г ∇ ( а К б с ) + ∇ ( а ∇ б К с ) г ,
что подтверждает тождество.

Что касается вопроса об обобщении, одним из указаний на то, что оно возможно, является то, что если К а является вектором Киллинга, можно сформировать тензор Киллинга, написав К а К б и т. д., и индукция показывает, что уравнение, включающее двойные ковариантные производные и тензоры Римана, существует.

Тензор Киллинга и тождество тензора Римана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v