Как понимать сингулярности в физике?

Как уже отмечалось, в классической физике такие сингулярности, как$1/r^2$сигнализируют о крахе теории. Если нас действительно интересует, что происходит в точке сингулярности, мы должны использовать квантовую физику. Вы можете думать о$1/r^2$как асимптотическая масштабная форма квантовой теории для больших$r$. Фактическая сингулярность не является физической.

С другой стороны, особенности термодинамики являются прямым следствием термодинамического предела. Когда у вас много частиц, все они могут работать вместе, чтобы сделать физические величины (обычно восприимчивости) очень большими. В пределе бесконечных частиц соответствующая величина расходится. На практике эти особенности не реализуются по двум причинам. Во-первых, вы никогда не находитесь в термодинамическом пределе. Однако это не является реальным ограничением, потому что атомы настолько малы, что вы можете легко$10^{23}$из них. Такое большое число неотличимо от бесконечности. Настоящая причина в том, что для того, чтобы найти такую ​​дивергенцию, обычно нужно точно настроить какой-то параметр системы, чтобы он находился точно в критической точке. Вам нужно, чтобы температура и давление были математически равны их критическим значениям. Вы никогда не сможете этого сделать.

На самом деле естественно, что вы обнаруживаете что-то неаналитическое при фазовом переходе. Физически фазовый переход — это точка в фазовом пространстве, в которой свойства системы резко меняются. Вы переходите из воды в лед. Система либо жидкая, либо твердая, между ними нет интерполирующего состояния, в котором система мягкая. Математически это проявляется как неаналитическое изменение термодинамического потенциала, т.е. расходимость его производной (достаточно высокого порядка).

Я бы сделал вывод, что эти два типа сингулярностей не связаны между собой. Однако есть связь в теоретическом инструменте, который используется для решения этих проблем: перенормировка.

На$1/r^2$С другой стороны, квантовая теория поля говорит нам, что на самом деле частицы взаимодействуют друг с другом, и это приводит к расхождениям в теориях, определенных в непрерывном пространстве. Эти расхождения могут быть вновь поглощены микроскопическими (и ненаблюдаемыми) параметрами системы, которые расходятся таким образом, что все бесконечности уравновешиваются. См. эту статью.

Со стороны термодинамики критические точки связаны с фиксированными точками ренормализационной группы . Там система инвариантна при комбинированном огрублении мелких деталей и уменьшении масштаба. Затем мы находим масштабную инвариантность и степенные законы, которые можно наблюдать при фазовом переходе.

Несмотря на то, что эти процедуры имеют совершенно разные интерпретации, технически они очень похожи и содержат одни и те же идеи. Со стороны квантовой теории поля вы хотите, чтобы пространство было непрерывным. Вы используете перенормировку, чтобы сделать сетку пространства-времени бесконечно малой, не создавая расхождений. С другой стороны, в критической точке статистических систем корреляционная длина системы настолько велика, что пространственная сетка (например, в кристалле) не имеет значения, и ваша теория фактически непрерывна.

... r = 0 тривиально исключается (по крайней мере, для макроскопических объектов), потому что они имеют четко определенные исключенные объемы и не могут занимать одно и то же пространство одновременно, поэтому можно утверждать, что расхождение в случае r = 0 является математическим артефактом

Радиус элементарных частиц может быть равен 0, если они являются точечными частицами (до сих пор об электронах лучше всего думать как о точечных частицах). Если это так, то это точки физической массы с конечным зарядом и массой. С такой физической сингулярностью проблем нет, пока мы знаем ее свойства и законы ее поведения в данных условиях.

Что$r=0$не бывает, верно, когда$r$обозначает расстояние двух электронов. Представьте себе два точечных электрона. Они вполне могут иметь нулевые размеры и объем, если они имеют положительное взаимное расстояние. Они не могут приблизиться друг к другу на расстояние 0, так как это потребовало бы, согласно закону Кулона, бесконечной энергии.

Является ли большинство сингулярностей, встречающихся в классической физике, просто напоминанием о том, что в рамках классических моделей не все можно объяснить, и приходится обращаться к более общим структурам, таким как КМ, где тогда сингулярности разрешались бы?

Это зависит. Если какая-то модель не работает в определенный момент, когда мы знаем, что правильный ответ существует и поддается количественной оценке, то в этот момент модель неверна, и есть веская причина искать лучшую модель.

Если сингулярность является физической (точечные частицы), и мы можем использовать ее и последовательно проводить расчеты (расстояние никогда не становится равным 0 на практике), такая сингулярность приемлема и имеет свое место в физике.

Сингулярность в законах силы

Если бы законы силы были фундаментальными для природы, это было бы серьезной проблемой. Представьте, например, гравитационную энергию между фотонами. Они бозоны и, следовательно, могут занимать одно и то же квантовое состояние; важно то, что более чем один из них может находиться и оставаться в одном и том же положении, когда сила гравитации (у них есть энергия и, следовательно, релятивистски масса) и энергия расходятся.

На самом деле ситуация еще хуже: даже если мы каким-то образом нашли лазейку вокруг расхождения, когда взаимодействующие частицы находятся в одном и том же месте, с одиночной частицей все равно остается проблема. Для точечного (или даже почти точечного) электрона только собственная энергия от электрического отталкивания его заряда, действующего на самого себя (представьте, что он собран за счет сжатия пространственно протяженного распределения заряда), легко превышает его массу покоя. Откуда могла взяться эта энергия?

Правда в том, что силы — это просто полезное упрощение чего-то более фундаментального. Виртуальные частицы описывают взаимодействие между частицами, которое (только) для низких энергий (с соответственно ограниченным разрешением по импульсу и, следовательно, по положению) становится неотличимым от силовых законов.

Сингулярность в фазовых переходах

Фазовый переход — это внезапное изменение чего-либо, обычно расположения или поведения ансамбля частиц. Обычно это соответствует изменениям почти любого свойства коллективной системы. Определение, которое вы используете, пытается быть как можно более широким, но при этом ограничивается рассмотрением одной величины — свободной энергии. Чтобы быть более общим, чем просто предписывать внезапное изменение самой свободной энергии, он включает понятие$n$Фазовые изменения -го порядка, когда внезапное изменение происходит только в (возможно, более высокой) производной свободной энергии. Но важным моментом является то, что (обычно) почти любая величина будет изменяться аналогичным образом (хотя, возможно, с другой минимальной производной).

Основное отличие этого расхождения от того, что встречается в законах силы, состоит в том, что существование этого расхождения, внезапного изменения, является центральным для описываемой физики. Если бы его не было, не было бы фазового перехода. В законах силы расхождения возникают при математической идеализации или упрощении реальности, тогда как реальность немного отличается (или, если хотите, сложнее).

Это также объясняет ваш последний вопрос: почему фазовый переход должен соответствовать дивергенции или математической сингулярности? Это связано с тем, что оно соответствует непостепенному изменению ключевого параметра (например, температуры). Следовательно, он (или его производная, или производная того и т. д.) должен совершать внезапный, а не плавный скачок. Вы можете каким-то образом математически сделать переход плавным; например, если вы параметризуете его энтропией, а не температурой,$0$Фазовый переход -го рода часто можно рассматривать как переход первого рода, потому что для его осуществления при определенной (постоянной) температуре энтропия должна быть добавлена ​​или удалена из системы, чтобы завершить переход. Но вы все равно столкнетесь со своей прерывностью (или дивергенцией, или сингулярностью, если хотите), хотя бы только в какой-то высшей производной.

Я могу дать лишь частичный ответ на первую часть вашего вопроса.

встречаются функции, которые расходятся в данной точке, типичными примерами могут быть кулоновские или гравитационные силы, равные ∝ 1/r², ясно, что они расходятся при r=0...

Гравитационная сила на самом деле не пропорциональна 1/r². Взгляните на график гравитационного потенциала в Википедии .

Изображение CCASA от AllenMcC, см. Wikipedia Commons

Наклон графика изображает силу тяжести для экваториального среза Земли и окружающего пространства. И хотя наклон первоначально увеличивается с уменьшением r, в конечном итоге он уменьшается . Так что бесконечность при r=0 — это математическая фикция.

Являются ли большинство сингулярностей, встречающихся в классической физике, просто напоминанием о том, что в рамках классических моделей не все можно объяснить...

Я бы сказал нет, но некоторые особенности являются результатом «нереальных решений». Например, гравитационный потенциал можно изобразить, используя ход световых часов, разбросанных по всему экваториальному срезу — часы идут медленнее, когда они ниже. Затем, когда вы сделали это для черной дыры, ход световых часов на горизонте событий равен нулю. И ниже этого быть не может . Итак, ваш сюжет выглядит как на картинке ниже, без точки-сингулярности посередине.

Я не могу говорить о сингулярностях в смысле общей теории относительности, но ваш пример$1/r^2$Законы классической физики на самом деле в большинстве случаев решаются внутренней структурой. Один из моих профессоров физики всегда говорил, что природа решает бесконечности с помощью внутренней структуры.

Например, для заряженного шара с однородной плотностью заряда электрическое поле имеет вид$r$для$r<R$(радиус сферы) и т.п.$1/r^2$для$r>R$. То же верно и для сферического гравитационного тела с однородной плотностью массы. Таким образом, внутренняя структура помогает вам избежать бесконечности.

Теперь, очевидно, это не принимает во внимание тот факт, что электроны и кварки, как мы знаем, являются точечными объектами, но это только потому, что точность и достоверность экспериментов ограничены. Мы можем обнаружить, что они имеют внутреннюю структуру, но, тем не менее, квантовая механика должна вступить в игру, когда мы имеем дело с ними.