Почему тождество Джозефсона dν=2−αdν=2−αd\nu=2-\alpha выполняется только для теории среднего поля в размерности 444?

Масштабное отношение$\alpha = d \nu-2$фактически является соотношением гиперскейлинга, которое справедливо только ниже верхнего критического измерения (как всегда, прямо в верхнем критическом измерении, здесь$d=4$, есть логарифмические поправки к закону масштабирования, так что отношение гипермасштабирования на самом деле не верно).

Это соотношение может быть получено с помощью некоторых аргументов РГ для потока свободной энергии. После масштабирования длин с коэффициентом$s$, получается

$$f(\tau,u)=s^{d} f(\tau s^{1/\nu},u s^{-y}),$$ с $y>0$наименьший нерелевантный критический показатель. Здесь $u$является несущественным оператором (связанным с взаимодействием в $\phi^4$теория). Выбор $s=\tau^{-\nu}$, мы получаем ( $F(x)=f(1,x)$) $$f(\tau,u)=\tau^{\nu d} F(u \tau^{\nu y}).$$ При условии, что $F(x)$является регулярным, как $x\to 0$, сингулярное поведение $f$дан кем-то $\tau^{\nu d}$из которого мы получаем $\alpha$производя дважды относительно $T$. Таким образом, мы получаем соответствующее соотношение гиперскейлинга.

Однако это предположение неверно для$d\geq 4$, как$F(x)$в этом случае сингулярна (это потому, что фиксированная точка РГ теперь является фиксированной точкой Гаусса, а не фиксированной точкой Вильсона-Фишера). По аргументу среднего поля можно получить$F(x)\propto 1/x$вместо этого и$u$называется опасно нерелевантной переменной (опасной, поскольку$F$единственное число как$x\to 0$). Более того$y=d-4$, и собрав все вместе, выздоравливает$\alpha=0$, как и ожидалось из чисто расчета среднего поля.